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kuing
Posted at 2020-6-3 16:30:21
那些链接（以及链接里的链接）我估计楼主也都看过。
然鹅，每次的问题虽然相近但又有些不同，每次都引用不同链接的结论，每次处理时又会有些改变，要消化完是有点难……
更重要的是，引用几回结论后难免有些地方会绕了弯路，比如这回如果像之前那样引用 tid=4148 里 cot 的结论再变换到 cos 就是弯了，这里可以直接 cos ，所以这回我还是从头开始撸……
方程 `z^{2n+1}=1` 的 `2n+1` 个根为
\[z_k=\cos\frac{2k\pi}{2n+1}+i\sin\frac{2k\pi}{2n+1},\quad k\in\{0,1,2,\ldots,2n\},\]记
\[x_k=\cos\frac{k\pi}{2n+1},\]由棣莫弗定理，有
\[z_k=\frac{\cos\frac{k\pi}{2n+1}+i\sin\frac{k\pi}{2n+1}}{\cos\frac{-k\pi}{2n+1}+i\sin\frac{-k\pi}{2n+1}}=\frac{x_k+i\sqrt{1-x_k^2}}{x_k-i\sqrt{1-x_k^2}},\quad k\in\{0,1,2,\ldots,2n\},\]将 `i` 写成 `\sqrt{-1}`，可知方程
\[\bigl( x+\sqrt{x^2-1} \bigr)^{2n+1}=\bigl( x-\sqrt{x^2-1} \bigr)^{2n+1}\]的 `2n+1` 个根为 `x_k`, `k\in\{0,1,2,\ldots,2n\}`，对上式用二项式定理展开，可知
\[\frac{\text左-\text右}{2\sqrt{x^2-1}}=C_{2n+1}^1x^{2n}+C_{2n+1}^3x^{2n-2}(x^2-1)+C_{2n+1}^5x^{2n-4}(x^2-1)^2+\cdots+C_{2n+1}^{2n+1}(x^2-1)^n,\]右边关于 `x` 都是偶次，作置换 `x^2\to x`，即方程
\[C_{2n+1}^1x^n+C_{2n+1}^3x^{n-1}(x-1)+C_{2n+1}^5x^{n-2}(x-1)^2+\cdots+C_{2n+1}^{2n+1}(x-1)^n=0\]的 `n` 个根为 `x_k^2`, `k\in\{1,2,\ldots,n\}`，最高次项系数为 `C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^3+\cdots+C_{2n+1}^{2n+1}=4^n`，于是就有
\begin{align*}
&C_{2n+1}^1x^n+C_{2n+1}^3x^{n-1}(x-1)+C_{2n+1}^5x^{n-2}(x-1)^2+\cdots+C_{2n+1}^{2n+1}(x-1)^n\\
={}&4^n\left( x-\cos^2\frac\pi{2n+1} \right)\left( x-\cos^2\frac{2\pi}{2n+1} \right)\cdots\left( x-\cos^2\frac{n\pi}{2n+1} \right),
\end{align*}令 `x=0` 得
\[\cos\frac\pi{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1}=\frac1{2^n},\]令 `x=1` 得
\[\sin\frac\pi{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}\cdots\sin\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}.\]
如果对二项式展开之前的方程作置换的话，就是当 `x\ne1` 时
\begin{align*}
&\left( x-\cos^2\frac\pi{2n+1} \right)\left( x-\cos^2\frac{2\pi}{2n+1} \right)\cdots\left( x-\cos^2\frac{n\pi}{2n+1} \right)\\
={}&\frac{\bigl( \sqrt x+\sqrt{x-1} \bigr)^{2n+1}-\bigl( \sqrt x-\sqrt{x-1} \bigr)^{2n+1}}{4^n\cdot2\sqrt{x-1}},
\end{align*}再作置换 `x\to x+1` 得
\begin{align*}
&\left( x+\sin^2\frac\pi{2n+1} \right)\left( x+\sin^2\frac{2\pi}{2n+1} \right)\cdots\left( x+\sin^2\frac{n\pi}{2n+1} \right)\\
={}&\frac{\bigl( \sqrt{x+1}+\sqrt x \bigr)^{2n+1}-\bigl( \sqrt{x+1}-\sqrt x \bigr)^{2n+1}}{4^n\cdot2\sqrt x}.
\end{align*} |
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hejoseph
Posted at 2020-6-3 10:51:17
青青子衿
Posted at 2020-6-3 11:00:57
