过一点作一个内接正方形

hbghlyj

单位正方形ABCD的中心为O,过O作AB,BC的平行线与AB,BC形成一个正方形区域,点P在该区域内,求作正方形EFGH内接于ABCD,其中E,F分别在AB,BC上,使得线段EF经过点P.

引理：正方形EFGH内接于ABCD,则EF的包络是以O为焦点,过B作的BD垂线为准线的抛物线.

证明

设O在EF上的垂足是EF中点为M,由EFOB共圆,且M为圆心得知,M在OB中垂线上,而OB中垂线是一条定直线,所以EF的包络是抛物线.

抛物线的焦点在切线上的垂足在抛物线顶点处的切线上

见包络为抛物线 直线在角的两边上截下的线段之和为定值

设P到BC,AB的距离为a,b,则当且仅当$(a-b)^2- 2a - 2b \ge -1$时问题有解.取等时P在抛物线上,所以只有一解.取严格小于时有两解.

设BE=x, 则BF=1-x,$\dfrac ax+\dfrac b{1-x}=1\Rightarrow x^2+(b-a-1)x+a=0$
所以该问题是尺规可作的。
能否从几何性质得出简单的尺规作法呢？

kuing

将 P 绕 O 旋转 90 度到 P'，以 PP' 为直径作圆，则圆与边的交点就是所求正方形的顶点。

kuing

回复 1# hbghlyj

你那引理比原题还有意思