空间中定点的存在性问题

1+1=？

$X O Y$ 平面上有一个以原点为圆心，半径为 $\sqrt{3}$ 的圆 $\odot O$，过点 $A(2 \sqrt{3}-3,0,0)$的直线交圆于 $M, N$ 两点，过点 $B(2 \sqrt{3}, 0,0)$ 作平行于 $Z$ 轴的直线 $I$，则 $I$ 上是否存在一定点 $P$ 使得 $P A$ 平分 $\angle MPN$？若是则求出点 $P$，不是则给出理由。

kuing

平面上，有下面大家都很熟悉阿氏圆结论：
给定点 `A(a,0)` 及 `\odot O`: `x^2+y^2=r^2`，动点 `M` 在 `\odot O` 上，则存在另一点 `C(r^2/a,0)` 使得 `MA:MC` 为定值。

现在推广到空间看看：
给定点 `A(a,0,0)` 及平面 `xOy` 上的 `\odot O`: `x^2+y^2=r^2`，动点 `M` 在 `\odot O` 上，平面 `xOz` 上的点 `D(s,0,t)`，当 `s`, `t` 满足什么条件时 `MA:MD` 为定值？

设 `MA^2=k\cdot MD^2`，即
\[(x-a)^2+y^2=k\bigl((x-s)^2+y^2+t^2\bigr),\]
展开即
\[2(ks-a)x+a^2+r^2-k(r^2+s^2+t^2)=0,\]
令
\[ks-a=a^2+r^2-k(r^2+s^2+t^2)=0,\]
消 `k` 整理得
\[s^2+t^2-\left(a+\frac{r^2}a\right)s+r^2=0,\]
这就是 `s`, `t` 需满足的条件，也就是说满足条件的 `D` 形成的轨迹在平面 `xOz` 上也是一个圆，这个圆的直径就是 `AC`（这 `C` 就是前面的 `C`）。

回原题的话，只要这个轨迹圆与 `l` 有交点就存在。