本帖最后由 hbghlyj 于 2023-5-1 19:41 编辑 定义
Frobenius norm $\|\cdot\|_F$定义为$$\|A\|_F^2=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}{{a_{i}}_{j}}^2=\operatorname{tr}A^TA$$
次乘性
$$\|A\|_F^2\|B\|_F^2\ge\|AB\|_F^2$$
即:
实数${a_i}_j,{b_i}_j(i=1,\dots,n;j=1,\dots,n)$
$$\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}(\sum_{k=1}^{n}{a_{i}}_{k}{b_{k}}_{j})^2} \leq \sqrt{\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}_{j}^2}\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}{b_{j}}_{i}^2}$$
证明由Cauchy$$(\sum_{k=1}^{n}{a_{i}}_{k}{b_{k}}_{j})^2\leq\sum_{k=1}^{n}{a_i}_k^2\sum_{k=1}^{n}{b_k}_j^2$$
对$i,j$求和：
$$\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}(\sum_{k=1}^{n}{a_{i}}_{k}{b_{k}}_{j})^2\leq\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}{{a_{i}}_{j}}^2\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}{{b_{j}}_{i}}^2$$
在两侧应用平方根：
$$\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}(\sum_{k=1}^{n}{a_{i}}_{k}{b_{k}}_{j})^2} \leq\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}_{j}^2\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}{b_{j}}_{i}^2}$$
例子
$A\in U_n$ 则 $\|A\|_F=\sqrt{\operatorname{tr}I_n}=\sqrt n$
而$\|A\|=\max_v\frac{\|Av\|}{\|v\|}=\max_v\frac{\|v\|}{\|v\|}=1$.
一般地$\|A\|_F≥\|A\|$恒成立, 因为$\|A\|_F=\sqrt{\sum\sigma_i^2}\ge\max\sigma_i=\|A\|$.
关于operator norm $\|\cdot\|$的定义及次乘性及其与奇异值的关系, 可以收看Advanced Linear Algebra 23: Frobenius and Operator Norm | 
