若 $2a^2+b^2=9$ 则 $\frac 4a+\frac 1{b+1}$ 的最小值

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源自知乎提问

题：正实数 $a,b$ 满足 $2a^2+b^2=9$ ，则 $\frac 4a+\frac 1{b+1}$ 的最小值为____.

先猜后证，猜测取得最小值时 (a,b)=(2,1).

由 Cauchy 不等式 \[(8+1)(2a^2+b^2)\geqslant (4a+b)^2\Rightarrow 4a+b\leqslant 9.\] 再由 Cauchy 不等式分式形式 \begin{align*}
\frac 4a+\frac 1{b+1}&=\frac {16}{4a}+\frac 1{b+1}\\[1ex]
&\geqslant \frac{(4+1)^2}{4a+b+1}\\[1ex]
&\geqslant\frac{25}{10}\\[1ex]
&=\frac 52.
\end{align*} 两次等号成立时， \[\frac 2a=\frac 1b \;\land\; \frac 1a=\frac 1{b+1},\] 结合 $2a^2+b^2=9$ 即有 $a=2,b=1.$

isee

补充柯西不等式待定系数法（亦先猜后证的因由）

引入待定常数 $m>0,n>0$ 则 $(2m^2+n^2)(2a^2+b^2)\geqslant(2m\cdot a+n\cdot b)^2,$ 即得到 \[2m\cdot a+n\cdot b\leqslant 3\sqrt{2m^2+n^2}.\]当且仅当 $\color{blue}{\sqrt2 m/\sqrt 2 a=n/b}\Rightarrow m/n=a/b$ 取得等号.

(最开始柯西不等式为什么用 2m^2，只是不想出现 根号 2，写起来麻烦）

于是 \begin{align*}
\frac 4a+\frac 1{b+1}&=\frac {8m}{m\cdot a}+\frac {n}{n\cdot (b+1)}\\[1ex]
&\geqslant \frac{(2\sqrt {2m}+\sqrt n)^2}{2m\cdot a+n\cdot b+n}\\[1ex]
&\geqslant\frac{(2\sqrt {2m}+\sqrt n)^2}{3\sqrt{2m^2+n^2}+n}\\[1ex]
&=\frac{(2\sqrt {2m/n}+1)^2}{3\sqrt{2(m/n)^2+1}+1}\tag{01}
\end{align*} 上式中第一次等号成立时，当且仅当 \[\frac{2\sqrt{2m}}{2ma}=\frac{\sqrt n}{n(b+1)}\iff \frac{\sqrt2}{\sqrt m a}=\frac1{\sqrt n (b+1)},\] 即 \[\color{blue}{\frac mn=\frac{2(b+1)^2}{a^2}},\] 蓝色两式联立消 m,n 有 \[\frac{2(b+1)^2}{a^2}=\frac ab,\]联立 \[2a^2+b^2=9,\] 解方程的组，这高次方程难以解出的，不过，能直接看出一组解为 $\color{blue}{(a,b)=(2,1)}.$

于是 \[\frac mn=2,\] 代入 $(1)$ 中便有 \begin{align*}
\frac 4a+\frac 1{b+1} &\geqslant\frac{(4+1)^2}{3\sqrt{9}+1}=\frac 52.
\end{align*} 至此便结束了.

(由 $m/n=2$ ，知 $2m^2/n^2=8/1$ ，（配凑时）保持此比例即可，如最开始就是取的 m=2，n=1，即配凑（8+1)(2a^2+b^2)，就是形式是最简洁的）

kuing

纯均值凑法：
\begin{align*}
\frac2a+\frac2a+\frac{a^2}4&\geqslant3,\\
\frac1{b+1}+\frac{b+1}4&\geqslant1,
\end{align*}
故
\begin{align*}
\frac4a+\frac1{b+1}&\geqslant4-\frac{a^2+b+1}4\\
&\geqslant4-\frac{a^2+\frac12(b^2+1)+1}4\\
&=\frac52.
\end{align*}