$ℝ^4$中一个曲面与不平行于其轴的3维仿射空间的交集是椭球

hbghlyj

$ℝ^3$中一个曲面elliptic paraboloid与不平行于它的轴的任何平面(2维仿射空间)的交集是椭圆(退化: 单点 或空集)

$ℝ^4$中一个曲面$S:x_4=2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 - 2x_1 x_2 - 2x_2 x_3$
如何证明它与不平行于它的轴的任何3维仿射空间的交集是椭球
例如$S$与$x_4=1$的交集为$1=2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 - 2x_1 x_2 - 2x_2 x_3$ Plot
$S$与$x_4=x_3$的交集为$x_3=2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 - 2x_1 x_2 - 2x_2 x_3$ Plot