一个有棱切球的三棱锥的6条边应该满足什么样的条件

lxz2336831534

只要在一个球面上做出四个之中任意三个均相切的圆即可求得三棱锥有棱切球所需要的条件。


对三棱锥的三个相邻的面用上述公式，可得到三组方程，不过计算量庞大。其中m，n表示三棱锥中两个相邻面的内切圆半径，θ表示该两个面的二面角，R表示棱切球半径，abc表示三角形边长。

kuing

我印象中是三对对棱长度之和相等就行

kuing

若有棱切球，根据切线长相等，即每个顶点到与之相连的三条棱与球的切点的距离相等。

用一下你的图，即如下所示，可以看到每对对棱长度之和都 = a+b+c+d

hejoseph

四面体 $ABCD$ 棱 $AB$ 的二面角记为 $\theta_{AB}$，$\triangle BCD$ 的界心记为 $J_A$，其余类推，则四面体 $ABCD$ 有棱切球的充要条件是以下条件的任意一个：
（1）$AB+CD=AC+BD=AD+BC$
（2）$\theta_{AB}+\theta_{CD}=\theta_{AC}+\theta_{BD}=\theta_{AD}+\theta_{BC}$
（3）直线 $AJ_A$、$BJ_B$、$CJ_C$、$DJ_D$ 共点
如果四顶点到棱切球的切线长是 $w$、$x$、$y$、$z$，四面体体积是 $V$，则棱切球半径为
\[
\frac{2wxyz}{3V}
\]
size(160);
import graph3;
import solids;
triple[] V={(0.33214474376987134308,0.0063045662452119366279,-0.11638888104327769458),(-0.21640646644897243587,0.35500439384402486794,-0.11638888104327769458),(-0.15612611367767092170,-0.34239526135360099468,-0.11638888104327769458),(0.040387836356772014494,-0.018913698735635809884,0.34916664312983308374)};
draw(V[0]--V[1]);
draw(V[0]--V[2]);
draw(V[1]--V[2]);
draw(V[0]--V[3]);
draw(V[1]--V[3]);
draw(V[2]--V[3]);
draw(surface(V[0]--V[1]--V[2]--cycle),red+opacity(0.5));
draw(surface(V[0]--V[1]--V[3]--cycle),red+opacity(0.5));
draw(surface(V[1]--V[2]--V[3]--cycle),red+opacity(0.5));
draw(surface(V[2]--V[0]--V[3]--cycle),red+opacity(0.5));
draw(surface(sphere((0.00060280352771301514170,-0.0026364549752704462262,0.00023495644916058995052),0.21903451662115415023)),yellow);

还有下图的另外一种棱切球，红色区域为四面体内部，假设图中绿色区域所对的顶点为 $A$，则四面体 $ABCD$ 有这种棱切球的充要条件是以下条件的任意一个：
（1）$AB-CD=AC-BD=AD-BC$
（2）$\theta_{AB}-\theta_{CD}=\theta_{AC}-\theta_{BD}=\theta_{AD}-\theta_{BC}$
如果四顶点到棱切球的切线长是 $w$、$x$、$y$、$z$，四面体体积是 $V$，则棱切球半径为
\[
\frac{2wxyz}{3V}
\]
size(160);
import graph3;
import solids;
triple[] V={(0.38639706126404270583,-0.015891675246195377450,-0.19994003027003144124),(-0.16215414895480107312,0.33280815235261755386,-0.19994003027003144124),(-0.10187379618349955895,-0.36459150284500830876,-0.19994003027003144124),(-0.12236911612574207377,0.047675025738586132351,0.59982009081009432371)};
triple[] P={V[0]+1.4*(V[0]-V[3]),V[1]+1.4*(V[1]-V[3]),V[2]+1.4*(V[2]-V[3])};
draw(V[0]--V[1]);
draw(V[0]--V[2]);
draw(V[1]--V[2]);
draw(V[0]--V[3]);
draw(V[1]--V[3]);
draw(V[2]--V[3]);
draw(V[0]--P[0]);
draw(V[1]--P[1]);
draw(V[2]--P[2]);
draw(surface(V[0]--V[1]--V[2]--cycle),red+opacity(0.5));
draw(surface(V[0]--V[1]--V[3]--cycle),red+opacity(0.5));
draw(surface(V[1]--V[2]--V[3]--cycle),red+opacity(0.5));
draw(surface(V[2]--V[0]--V[3]--cycle),red+opacity(0.5));
draw(surface(P[0]--V[0]--V[1]--P[1]--cycle),green+opacity(0.5));
draw(surface(P[0]--V[0]--V[2]--P[2]--cycle),green+opacity(0.5));
draw(surface(P[1]--V[1]--V[2]--P[2]--cycle),green+opacity(0.5));
draw(surface(sphere((0.054855121021884377895,-0.024832696466677760305,-0.73679972487333120401),0.56797300260624033329)),yellow);

hbghlyj

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