内心证明三线段构成一直角三角形

乌贼

     
$ I $为圆内接$ \triangle ABC $内心，$ AI $与圆另一交点为$ D $，$ E $为劣弧$ CD $上一点，$ F、K $分别为$ AE、AB $与$ \triangle BIC $外接圆交点，$ AKGF $四点共圆。求证:$EG^2=EC^2+FG^2 $

isee

好久不见！

难得啊，主要是你那边打开速度快了吧？
（我倒是变慢了，多数时候）

乌贼

如图：
在$ EF $上取一点$ M $使$ GM=GF $，有\[ \angle GMF=\angle GFM=\angle AKG=\angle ACG \]即$ ACMG $四点共圆，得\[ \angle EMC=\angle DGC=\angle DGK=\angle KFE=\angle FKA+\angle FAK=FCB+\angle ECB=\angle ECF \]得\[ \triangle EMC\sim \triangle ECF\riff EC^2=EM\cdot EF \]过$ E $点作以$ G $为圆心，$ GF $为半径的圆切线$ MN $，即有\[ \begin{gather*}
EN^2=EM\cdot EF=EC^2\\GF=GN\\\angle ENG=90\du
\end{gather*} \]
以上结论为解决下帖：forum.php?mod=viewthread&tid=8864