证明所有有限群必与一置换群同构

琉璃幻

泥煤居然没代数这一栏

kuing

这应该发到高等数学讨论区比较合适？

tommywong

跟凱萊定理一样地证

其妙

群论？

琉璃幻

回复 2# kuing


    初等群论算高等数学么

realnumber

表示完全不懂，以下百度的
zhidao.baidu.com/link?url=TXjjGY3oYyQ2c4h0bZXXjbGnLgGTwJcpYkzvi_ ... b7rJg2g1GvTHZHP5lF3a

其妙

复制过来：慢慢看
有限群的话，很简单：
设有限群为G={A0,A1,...,An}其中A0是0元素；则对此群中的任意元素Ai，定义在此群上的置换Fi：Aj-->Aj + Ai现在我们验证下所有的这类置换G'={F0,F1,...,Fn}在置换复合运算( 即(Fi+Fj)(Ak)=Fj(Fi(Ak)) )下构成一个群：运算封闭性：Fi + Fj属于G':设Ai + Aj = Ak属于G,容易验证Fi + Fj = Fk属于G';零元素F0: Fi + F0 = Fi:这是显然的因为(Fi+F0)(Aj) = Aj + Ai + A0 = Aj + Ai = Fi(Aj);交换率:Fi + Fj = Fj + Fi,实际上，如果Ai + Aj = Aj + Ai = Ak(这由原群G的交换率保证），那么Fi + Fj = Fj + Fi = Fk结合率：同样易验证(Fi + Fj) + Fk = Fi + (Fj + Fk),由原群G的结合率所保证.综上，G’是一个（置换）群；容易看出，G'与G是同构的，同构映射f: Ai --> Fi把0元素映射为0元素，且f(Ai + Aj) = f(Ai) + f(Aj); 且f是双射：f(Ai) = f(Aj) ==> Fi = Fj ==> Fi(A0) = Fj(A0) ==> A0 + Ai = A0 + Aj ==> Ai = Aj,说明是单射；由定义（或者看G和G'都是n个元素，f又是单射）知是满射；

hbghlyj

其妙 发表于 2014-10-3 01:15
复制过来：慢慢看
有限群的话，很简单：
设有限群为G={A0,A1,...,An}其中A0是0元素；则对此群中的任意元素A ...

粗略地将楼上的内容转换成 LaTeX，以使其更清晰易读：

有限群的话，很简单：

设有限群为 \( G = \{A_0, A_1, \ldots, A_n\} \) 其中 \( A_0 \) 是 0 元素；则对此群中的任意元素 \( A_i \)，定义在此群上的置换 \( F_i \)：\( A_j \mapsto A_j + A_i \)

现在我们验证下所有的这类置换 \( G' = \{F_0, F_1, \ldots, F_n\} \) 在置换复合运算（即 \( (F_i + F_j)(A_k) = F_j(F_i(A_k)) \)）下构成一个群：

1. 运算封闭性：\( F_i + F_j \) 属于 \( G' \)：设 \( A_i + A_j = A_k \) 属于 \( G \)，容易验证 \( F_i + F_j = F_k \) 属于 \( G' \)；
2. 零元素 \( F_0 \)：\( F_i + F_0 = F_i \)：这是显然的因为 \( (F_i + F_0)(A_j) = A_j + A_i + A_0 = A_j + A_i = F_i(A_j) \)；
3. 交换率：\( F_i + F_j = F_j + F_i \)，实际上，如果 \( A_i + A_j = A_j + A_i = A_k \)（这由原群 \( G \) 的交换率保证），那么 \( F_i + F_j = F_j + F_i = F_k \)；
4. 结合率：同样易验证 \( (F_i + F_j) + F_k = F_i + (F_j + F_k) \)，由原群 \( G \) 的结合率所保证。

综上，\( G' \) 是一个（置换）群；容易看出，\( G' \) 与 \( G \) 是同构的，同构映射 \( f: A_i \mapsto F_i \) 把 0 元素映射为 0 元素，且 \( f(A_i + A_j) = f(A_i) + f(A_j) \)；且 \( f \) 是双射：\( f(A_i) = f(A_j) \implies F_i = F_j \implies F_i(A_0) = F_j(A_0) \implies A_0 + A_i = A_0 + A_j \implies A_i = A_j \)，说明是单射；由定义（或者看 \( G \) 和 \( G' \) 都是 \( n \) 个元素，\( f \) 又是单射）知是满射。

hbghlyj

其妙 发表于 2014-10-3 01:15
有限群的话，很简单：

那么无限呢？一样吗