证明所有有限群必与一置换群同构

琉璃幻

泥煤居然没代数这一栏

tommywong

跟凱萊定理一样地证

realnumber

表示完全不懂，以下百度的
有限群的话，很简单：

设有限群为 \( G = \{A_0, A_1, \ldots, A_n\} \) 其中 \( A_0 \) 是 0 元素；则对此群中的任意元素 \( A_i \)，定义在此群上的置换 \( F_i \)：\( A_j \mapsto A_j + A_i \)

现在我们验证下所有的这类置换 \( G' = \{F_0, F_1, \ldots, F_n\} \) 在置换复合运算（即 \( (F_i + F_j)(A_k) = F_j(F_i(A_k)) \)）下构成一个群：

1. 运算封闭性：\( F_i + F_j \) 属于 \( G' \)：设 \( A_i + A_j = A_k \) 属于 \( G \)，容易验证 \( F_i + F_j = F_k \) 属于 \( G' \)；
2. 零元素 \( F_0 \)：\( F_i + F_0 = F_i \)：这是显然的因为 \( (F_i + F_0)(A_j) = A_j + A_i + A_0 = A_j + A_i = F_i(A_j) \)；
3. 交换律：\( F_i + F_j = F_j + F_i \)，实际上，如果 \( A_i + A_j = A_j + A_i = A_k \)（这由原群 \( G \) 的交换率保证），那么 \( F_i + F_j = F_j + F_i = F_k \)；
4. 结合律：同样易验证 \( (F_i + F_j) + F_k = F_i + (F_j + F_k) \)，由原群 \( G \) 的结合率所保证。

综上，\( G' \) 是一个（置换）群；容易看出，\( G' \) 与 \( G \) 是同构的，同构映射 \( f: A_i \mapsto F_i \) 把 0 元素映射为 0 元素，且 \( f(A_i + A_j) = f(A_i) + f(A_j) \)；且 \( f \) 是双射：\( f(A_i) = f(A_j) \implies F_i = F_j \implies F_i(A_0) = F_j(A_0) \implies A_0 + A_i = A_0 + A_j \implies A_i = A_j \)，说明是单射；由定义（或者看 \( G \) 和 \( G' \) 都是 \( n \) 个元素，\( f \) 又是单射）知是满射。