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色k
发表于 2016-4-1 01:18
再来一个坑爹解法：
记
\[f=\sin \frac{2\pi}7+\sin \frac{3\pi}7-\sin \frac\pi7,\]
则
\[2f=\sin \frac\pi7+\sin \frac{2\pi}7+\cdots +\sin \frac{6\pi}7-4\sin \frac\pi7,\]
类似上面那样积化和差，有
\[\left( \sin \frac\pi7+\sin \frac{2\pi}7+\cdots +\sin \frac{6\pi}7 \right)\sin \frac\pi{14}=\frac12\left( \cos \frac\pi{14}-\cos \frac{13\pi}{14} \right)=\cos \frac\pi{14},\]
则
\[\sin \frac\pi7+\sin \frac{2\pi}7+\cdots +\sin \frac{6\pi}7=\cot \frac\pi{14},\]
所以
\[2f=\cot \frac\pi{14}-4\sin \frac\pi7.\]
为方便书写，记 $t=\cot(\pi/14)$，因为 $\cot(7\pi/14)=0$，则由 $n$ 倍角余切公式可得
\[C_7^0t^7-C_7^2t^5+C_7^4t^3-C_7^6t=0,\]
化简即得
\[t^6=7(3t^4-5t^2+1),\]
由万能公式有
\[2f=t-\frac{8t}{1+t^2}=\frac{t^3-7t}{1+t^2},\]
平方得
\[4f^2=\frac{t^6-14t^4+49t^2}{t^4+2t^2+1}=\frac{7(3t^4-5t^2+1)-14t^4+49t^2}{t^4+2t^2+1}=7,\]
即
\[f=\frac{\sqrt7}2.\] |
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isee
发表于 2022-2-24 00:25
