请教：极值点偏移问题

shidilin

请教：极值点偏移问题
①下列解法中的不等式，是如何来的？有没有高数的背景？或者几何意义？
②其中第一问中的a＞0

kuing

这个证法是错的。

他想运用的是以下结论：

设 $f(x)$ 在区间 $D$ 内有定义，设 $d\geqslant0$ 且 $m-d$, $m+d\in D$，若在 $D$ 内恒有 $f''(x)\geqslant 0$，则
\[\int_{m-d}^{m+d}f(x)\rmd x\geqslant f(m)\cdot 2d,\]
若恒有 $f''(x)\leqslant 0$，则上式反向成立。若 $d>0$ 且 $f''(x)$ 不存在为恒零的区间，则不等式的等号也取不了。

也就是说，对于凸函数有上述积分不等式，其几何意义画个图看面积就知道。

而1楼证法的问题在于，红圈里的函数并不是 $f(x)$，而是 $f'(x)$，故此，要使用此结论，需要的是三阶导数 $f'''(x)>0$ 才行，然而实际上 $f'''(x)=(x+1)e^x$ 有正有负，所以是不能用这个结论来推的。

shidilin

嗯嗯

游客

回复 2# kuing


   记原函数两零点为m和n，n<1<m<2,分类讨论下：
若n<0，则m+n<2;若n>0，则那结论成立。

但是，这样的结论在高考证明中能直接应用？

kuing

回复 4# 游客

嗯，这样分类之后是可以那样用了。

结论在考试中当然是要先证明再用了，不过证明也是简单的，设 $F'(x)=f(x)$，则不等式就是 $g(d)=F(m+d)-F(m-d)-f(m)\cdot2d\ge0$，由下凸及琴生有 $g'(d)=f(m+d)+f(m+d)-2f(m)\ge0$，于是……。
当然如果用琴生也不许，那就继续求导下去，总是可以的。