来自人教群的双极值点——导数漂移+函数单调

isee

题：已知函数$f(x)=e^x-0.5x^2-ax$有两个极值点$x_1,x_2$。
（1）求实数$a$的取值范围；
（2）求证：$f(x_1)+f(x_2)>2$。

第(1)问从一阶导数目测结果为$a>1$，未严格证明.
第(2)问初见，但愿不是那种“难看”“硬算”的题

kuing

没什么难度啊……

第一问 `a>1` 没问题，要证也很简单，这里从略。

第二问，依题意有 `e^{x_1}-x_1=e^{x_2}-x_2=a`，不妨设 `x_1<x_2`，显然它们一正一负。
用最常规的漂移方法可以证出 `x_1+x_2<0`（过程从略），因为 `f(x)` 在 `(x_1,x_2)` 上递减，故由 `x_1<-x_2` 得
\[f(x_1)+f(x_2)>f(-x_2)+f(x_2)=e^{x_2}+e^{-x_2}-x_2^2,\]
很容易证明 `e^x+e^{-x}-x^2\geqslant2` 恒成立（过程再次从略），即得证。

isee

回复 2# kuing


哈哈，果然被你一眼看穿。
穿隐身衣的漂移。