多项式在有理数域上没有重根，在实数域上也没有

abababa

多项式$f(x)$的系数是有理数，并且在有理数域上没有重根（3楼将没有重根改为不可约）。那么$f(x)$在实数域、复数域上也一定没有重根吗？怎么证明呢？
在有理数域里不能分解的话，在实数域上可能可以分解，比如$f(x)=(x-\sqrt{2})^2(x-3)(x-5)$这种，虽然这时系数不是有理数，不满足条件，但会不会存在满足条件的$f(x)$？

kuing

那 `(x-\sqrt2)^2(x+\sqrt2)^2` 不就行了吗

abababa

回复 2# kuing

原来如此，我想了一下发现我考虑的时候最先想的不是有没有重根，而是它不可约，自然就没有重根了。如果换成这个条件，变成：有理系数多项式$f(x)$在有理数域上不可约，那么$f(x)$在实数域、复数域上会不会有重根？这时$f(x)$在这两个数域上可能是可约的，但有没有重根呢？

abababa

回复 3# abababa

网友给讲了一下这个命题，在一般的域上也是对的，如果多项式$f(x)$在小的域里不可约，它在大的域里一定没有重根。证明是用到了什么主理想整环上的裴蜀定理，我不懂这些，他的证明大致如下：
记$f'(x)$是$f(x)$的导函数，则若$f(x)\in F[x]$则必有$f'(x)\in F[x]$，因为$f(x)$不可约所以在$F[x]$里$\gcd(f,f')=1$，域上的多项式环是欧几里得环进而是主理想整环，所以存在裴蜀定理，根据裴蜀定理可以证明当发生域扩张时多项式的最大公因子不变（反证即得），所以在扩域多项式环$E[x]$里仍有$\gcd(f,f')=1$，如此即知不存在$x-a,a\in E$使得$x-a$能同时整除$f,f'$，而这是有重根的充要条件，所以$f$在$E[x]$上也没有重根。
具体到我的问题，就是因为实数域和复数域都是有理数域的扩域，所以有理数域里的不可约多项式在它的扩域里一定没有重根。

kuing

回复 3# abababa

那样的话我也觉得不会有，从感觉上来说，就像 2#，如果有 `(x-\sqrt2)^2` 的话，要使得展开有理，肯定还得一个 `(x+\sqrt2)^2` 与之配对，但这样的话又会造成有理可约……

至于上面的证明，显然超出我知识范围

hbghlyj

Ian Stewart, David Tall, Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem

hbghlyj

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