写出一个群同态$S_4$→$O(3)$

hbghlyj

做了一道小小的习题...记录一下下)

考虑以$P=(1,1,1),Q=(-1,-1,1),R=(1,-1,-1),S=(-1,1,-1)$为顶点的正四面体.$S_4$有5个共轭类:
(1)₄    1个元素: { (1, 2, 3, 4) }. 矩阵:单位矩阵$I_3$.
(2)      6个元素: { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) }.
例如:关于平面PQO的反射保持P,Q不变而交换R,S.其矩阵为\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}(3)      8个元素: { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) }.
例如:以PO为轴旋转+120°,会保持P不变而轮换Q,R,S.其矩阵为(用WolframAlpha计算)\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1& 0\end{bmatrix}(4)      6个元素: { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) }.
例如:把P变为Q,Q变为R,R变为S,S变为P的矩阵为(用WolframAlpha计算)\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}(2)(2)  3个元素: { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) }.
例如:以经过对棱PQ和RS的中点的直线(即z轴)旋转180°,会交换P,Q且交换R,S.其矩阵为\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}

Czhang271828

给出的同态是 $S_4\to O(3)$. $SO(3)$ 指 $O(3)$ 中行列式为 $1$ 的元素构成的子群, 即特殊正交群; 而 $S_4$ 中有奇置换, 对应的方阵行列式为 $-1$...

Czhang271828

以表示论的观点看就比较简单了: 群表示可理解为群到线性变换的同态 $\varphi:G\to GL(V)$, 其中同态给出 $\varphi(g)\varphi(h)=\varphi(gh)$.

置换群中元素写法一般采用这两种等价的格式
$$
\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&1&5&4\end{pmatrix}
\Leftrightarrow (123)(45)\quad (\in S_5)$$
左侧写法上为原像下为像, 右侧每一 $()$ 表示一个轮换. 实际上, 任何置换可写作不交轮换之并, 追踪元素在置换映射下的轨道即可. 显然不交轮换乘积可交换, 因此置换可唯一地写作不交轮换之并 (忽略长度为 $1$ 的轮换).

关于共轭类, 记置换 $\rho=(a_1a_2\cdots a_{k_1})(b_1\cdots b_{k_2})\cdots$ 为轮换之不交并形式, 注意到 $\sigma^{-1}\circ\rho\circ\sigma=(\sigma(a_1)\sigma(a_2)\cdots \sigma(a_{k_1}))(\sigma(b_1)\cdots\sigma(b_{k_2}))\cdots$ 也为形式相同的不交轮换之并. 从而两置换共轭若且仅若其轮换形式相同.

例如所有对换共轭, 如 $(12)\sim(13)$. 对任意 $\rho\in S_3$ 使得 $\rho(1)=1, \rho(2)=3$ 均有 $\rho^{-1}(12)\rho=(13)$. 从而 $S_n$ 的共轭类数量即 $n$ 的划分数.

hbghlyj

回复 2# Czhang271828
啊对...多谢指正

hbghlyj

用轮换记号完整写出来是:
$$\mathrm{id}\mapsto\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$
$$(34)\mapsto\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\quad(24)\mapsto\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}\quad(23)\mapsto\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}$$
$$(12)\mapsto\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\quad(13)\mapsto\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\end{bmatrix}\quad(14)\mapsto\begin{bmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix}$$
$$(234)\mapsto\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1& 0\end{bmatrix}\quad(143)\mapsto\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}\quad(124)\mapsto\begin{bmatrix}0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}\quad(132)\mapsto\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1& 0\end{bmatrix}$$
$$(243)\mapsto\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}\quad(134)\mapsto\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{bmatrix}\quad(142)\mapsto\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{bmatrix}\quad(123)\mapsto\begin{bmatrix}0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0\end{bmatrix}$$
$$(1234)\mapsto\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}\quad(1243)\mapsto\begin{bmatrix}0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{bmatrix}$$
$$(1324)\mapsto\begin{bmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&-1\end{bmatrix}\quad(1342)\mapsto\begin{bmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\-1&0&0\end{bmatrix}$$
$$(1423)\mapsto\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{bmatrix}\quad(1432)\mapsto\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &1\\ 0 & -1 & 0\end{bmatrix}$$
$$(12)(34)\mapsto\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\quad(13)(24)\mapsto\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}\quad(14)(23)\mapsto\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}$$由此可见,像集包括:
由不同行,不同列的3个1组成的全部3!=6个矩阵
由1个1,2个-1组成的全部2×9=18个矩阵(把1的位置选定有9种方法,剩下的2个-1有2种排法:$\begin{matrix}-1&0\\0&-1\end{matrix}$和$\begin{matrix}0&-1\\-1&0\end{matrix}$).

hbghlyj

考虑以$(1,1,1),(1,1,-1),(1,-1,1),(1,-1,-1),(-1,1,1),(-1,1,-1),(-1,-1,1),(-1,-1,-1)$为顶点的正六面体.它的一个旋转对称就是它的4条体对角线的一个置换,所以它的旋转对称群是$S_4$.$S_4$有5个共轭类:
(1)₄    1个元素: { (1, 2, 3, 4) }. 矩阵:单位矩阵$I_3$.
(2)      6个元素: { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) }.
例如:关于经过A₁B₃,A₃B₁的中点的直线旋转180°保持A₂B₂,A₄B₄不变而交换A₁B₁,A₃B₃.其矩阵为\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{bmatrix}(3)      8个元素: { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) }.
例如:以A₃B₃为轴旋转+120°,A₃B₃保持不变而轮换A₁B₁,A₂B₂,A₄B₄.其矩阵为\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1& 0\end{bmatrix}(4)      6个元素: { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) }.
例如:绕z转旋转90°把A₁B₁变为A₂B₂,A₂B₂变为A₃B₃,A₃B₃变为A₄B₄,A₄B₄变为A₁B₁.其矩阵为\begin{bmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}(2)(2)  3个元素: { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) }.
例如:绕z轴旋转180°,会交换A₃B₃,A₁B₁且交换A₂B₂,A₄B₄.其矩阵为\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}

hbghlyj

hbghlyj

考虑正十二面体的旋转对称群.它有5个共轭类:
identity
12 × rotation by ±72°, order 5
12 × rotation by ±144°, order 5
20 × rotation by ±120°, order 3
15 × rotation by 180°, order 2