本帖最后由 hbghlyj 于 2023-3-12 01:16 编辑 zh.wikipedia.org/wiki/乒乓引理
設$G$為群，作用在集合$X$上，$H_1$和$H_2$是$G$的非平凡子群，$H$是$H_1$和$H_2$生成的群。若$X$有兩個不交非空子集$X_1$和$X_2$，使得
對所有${\displaystyle 1\neq a\in H_{1}}$，都有${\displaystyle a(X_{2})\subset X_{1}}$
對所有${\displaystyle 1\neq b\in H_{2}}$，都有${\displaystyle b(X_{1})\subset X_{2}}$
則$H$是$H_1$和$H_2$的自由積，即${\displaystyle H=H_{1}*H_{2}}$，或者${\displaystyle \left|H_{1}\right|=\left|H_{2}\right|=2}$，而$H$是二面體群。
證明
設$w$是$H_1,H_2$的元素寫出的非空簡約字。若${\displaystyle w=a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\cdots a_{k}}$，其中${\displaystyle a_{i}\in H_{1}\setminus \{1\}}$，${\displaystyle b_{i}\in H_{2}\setminus \{1\}}$，則
\begin{aligned}w(X_{2})&=a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}b_{k-1}a_{k}(X_{2})\\&\subset a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}b_{k-1}(X_{1})\\&\subset a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}(X_{2})\\&\subset \cdots \subset X_{1}\end{aligned}而$X_1$和$X_2$不交，故${\displaystyle w\neq 1}$。同上得${\displaystyle w=b_{1}a_{2}b_{2}a_{3}\cdots b_{k}\neq 1}$。
若$H_1$和$H_2$的階不都等於2，不失一般性，假設${\displaystyle \left|H_{1}\right|>2}$。若${\displaystyle w=a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\cdots b_{k}}$，取${\displaystyle a\in H_{1}\setminus \{1,a_{1}\}}$，則${\displaystyle 1\neq aa_{1}\in H_{1}}$，故由上可知\[awa^{-1}=aa_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\cdots b_{k}a^{-1}\neq 1\]得${\displaystyle w\neq 1}$。若${\displaystyle w=b_{1}a_{2}b_{2}\cdots a_{k}}$，取${\displaystyle a\in H_{1}\setminus \{1,a_{k}\}}$，則${\displaystyle 1\neq a_{k}a^{-1}\in H_{1}}$，同上可得${\displaystyle awa^{-1}\neq 1}$，故${\displaystyle w\neq 1}$。因此得出${\displaystyle H=H_{1}*H_{2}}$。
若${\displaystyle \left|H_{1}\right|=\left|H_{2}\right|=2}$，令${\displaystyle H_{1}=\{1,a\}}$，${\displaystyle H_{2}=\{1,b\}}$。從上可知若有以$a, b$寫出的非空簡約字$w$等於1，則$w$只可能是${\displaystyle ab\cdots ab}$或${\displaystyle ba\cdots ba}$，故對某些數$n > 0$有${\displaystyle (ab)^{n}=1}$。取其最小者的值為$n$，則$H$為二面體群${\displaystyle D_{2n}}$。若無如此簡約字$w$，則${\displaystyle H=H_{1}*H_{2}}$。
推廣
乒乓引理可以推廣至數個子群的情形：
設$G$為群，作用在集合$X$上。又設$H_1, H_2, ... , H_k$是$G$的非平凡子群，且當中至少一個的階不小於3。若$X$有兩兩不交的非空子集$X_1, X_2, ... , X_k$，使得當$i\neq j$時，對所有${\displaystyle 1\neq a\in H_{i}}$，都有${\displaystyle a(X_{j})\subset X_{i}}$。則$H_1, H_2, ... , H_k$所生成的群是其自由積，即\[\langle H_{1},\cdots ,H_{k}\rangle =H_{1}*H_{2}*\cdots *H_{k}\]
這條定理的證明與兩個子群時的證明類似。
應用例子
特殊線性群
矩陣${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}}$和${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}}$在特殊線性群${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}$中生成的子群是秩2的自由群。
證明
群${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}$以線性變換作用在平面${\mathbb R}^{2}$上。 設這兩個矩陣各自生成子群
${\displaystyle H_{1}=\left\langle {\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}\right\vert n\in \mathbb {Z} \right\}}$
${\displaystyle H_{2}=\left\langle {\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}\right\vert n\in \mathbb {Z} \right\}}$
又設平面的兩個不交子集為
${\displaystyle X_{1}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|>|y|\right\}}$
${\displaystyle X_{2}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|<|y|\right\}}$
$H_1, H_2$都同構於無限循環群。因為$H_1, H_2, X_1, X_2$適合乒乓引理的條件，由乒乓引理得出$H_1, H_2$生成的群為其自由積，而兩個無限循環群的自由積為秩2的自由群。
搬运维基好用的代码:
document.querySelectorAll('.mwe-math-fallback-image-inline').forEach(a=>a.replaceWith('$'+a.alt+'$'))
document.querySelectorAll('.mwe-math-mathml-inline.mwe-math-mathml-a11y').forEach(a=>a.remove()) | 
