$[k/a]$求和

hbghlyj

证明 (i)
$$
\sum_{k=1}^n\left[\frac{k}{2}\right]=\left[\frac{n^2}{4}\right]
$$
(ii)
$$
\sum_{k=1}^n\left[\frac{k}{3}\right]=\left[\frac{n(n-1)}{6}\right]
$$
(iii) 对 $a=1,2, \ldots, 7$ 存在整数 $b$ (依赖于 $a$) 使得
$$
\sum_{k=1}^n\left[\frac{k}{a}\right]=\left[\frac{(2 n+b)^2}{8 a}\right]
$$

creasson

对任意的$a \in N^+$, 有
\[\sum\limits_{k = 1}^n {[\frac{k}{a}]}  = (n + 1 - \frac{a}{2})[\frac{n}{a}] - \frac{a}{2}{[\frac{n}{a}]^2}\]

hbghlyj

creasson 发表于 2023-5-7 06:33
对任意的$a \inN^+$, 有
\[\sum\limits_{k = 1}^n {[\frac{k}{a}]}  = (n + 1 - \frac{a}{2})[\frac{n}{a}] - \frac{a}{2}{[\frac{n}{a}]^2}\]

在网友的提示下，我想出了
artofproblemsolving.com/community/c7h1517678p33179546
\begin{multline*} \left((k-1) a-1+1-\frac{a}{2}\right)(k-2)-\frac{a}{2}(k-2)^2+(n-(k-1) a+1)(k-1)= \\ \left(n+1-\frac{a}{2}\right)(k-1)-\frac{a}{2}(k-1)^2\end{multline*}WolframAlpha验证：
wolframalpha.com/input?i=%28%28k-1%29a-1+%2B+1+-+%5Cfrac%7Ba%7D% ... %7B2%7D%28k-1%29%5E2

hbghlyj

但是这个公式如何解决原问题？$\sum_{k=1}^n\left[\frac{k}{a}\right]=\left[\frac{(2 n+b)^2}{8 a}\right]$

Aluminiumor

设 $m=\lfloor\frac na\rfloor$，$n=ma+r (0\leq r\leq a-1)$
由 2#
$$\sum_{k=1}^n\Big\lfloor\frac ka\Big\rfloor=\frac a2m^2+(r+1-\frac a2)m$$
而
$$\Big\lfloor\frac{(2n+b)^2}{8a}\Big\rfloor=\Big\lfloor\frac{(2ma+2r+b)^2}{8a}\Big\rfloor=\Big\lfloor\frac a2m^2+(r+\frac b2)m+\frac{(2r+b)^2}{8a}\Big\rfloor$$
取 $b=2-a$ 只需说明 $0\leq\frac{(2r+2-a)^2}{8a}<1$
而 $2-a\leq2r+2-a\leq a$ 易知 $a=1,2,\ldots7$ 满足。