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v6mm131 06-02 16:23:57
此题有无几何法
解：如上图，由条件知 `\angle PF_1Q=\angle PF_2Q=90\du`，所以 `P`, `Q`, `F_1`, `F_2` 共圆，则圆心只能在 `y` 轴上，所以 `PQ` 必平行于 `x` 轴，那么由 `PQ=8/\sqrt5` 知 `P`, `Q` 的横坐标为 `\pm4/\sqrt5`，于是
\begin{align*}
F_1P&=a-\frac4{\sqrt5}e,\\
F_1Q&=a+\frac4{\sqrt5}e,
\end{align*}
则
\[F_1P^2+F_1Q^2=PQ^2=\frac{64}5\riff a^2+\frac{16}5e^2=\frac{32}5,\]
又因为
\[1=b^2=a^2-c^2=a^2(1-e^2),\]
所以
\[\frac1{1-e^2}+\frac{16}5e^2=\frac{32}5\riff e=\frac{\sqrt3}2.\] |
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