解三角形

力工

试做了下，感觉此题也不亲民，求教于大佬。
四边形$ABCD$中，$DC=2AD=2,BA\perp AD,\angle BDC=30\du$,若$\angle C =\angle ADC$,求$BC$的长。

kuing

（To 楼主：原图误差有点大，加上有广告水印，我把你的图给换掉了）

由正弦定理
\[BC=DC\cdot\frac{\sin30\du}{\sin\angle DBC}=\frac1{\sin\angle DBC},\]
记 `\angle DBC=x`，则 `\angle C=150\du-x`, `\angle ADB=120\du-x`，于是由条件有
\begin{align*}
DC=2AD&\iff\frac{DC}{DB}=2\frac{AD}{DB}\\
&\iff\frac{\sin x}{\sin(150\du-x)}=2\cos(120\du-x)\\
&\iff\sin x=2\cos(120\du-x)\sin(150\du-x)=\frac12-\cos2x\\
&\iff\sin x=2\sin^2x-\frac12,
\end{align*}
解得
\[\sin x=\frac{1+\sqrt5}4,\]
倒数即得 `BC=\sqrt5-1`。

PS、实际上 `x=54\du`。

力工

kuing 发表于 2024-6-21 15:40
（To 楼主：原图误差有点大，加上有广告水印，我把你的图给换掉了）

由正弦定理

谢谢k神！这题用$\angle ADB$变形好繁，我是巷子里赶猪，直来直设的。