互补的整数序列

hbghlyj

cut the knot

设 $r$ 为一个正的无理数。令 $s = 1/r,$ 并定义两个序列：$a_{n} = n(r + 1)$ 和 $b_{n} = n(s + 1)$，其中 $n \gt 0.$

显然，这两个序列的所有项都是无理数。特别地，它们都不是整数。Sam Beatty 在 1926 年发现的一个显著定理表明，对于任何整数 $N,$ 在区间 $(N, N + 1)$ 中恰好有一个来自 $\{a_{n}\}\cup \{b_{n}\}$ 的元素。

这个性质非常显著，原因如下。根据定义，对于一个非整数 $\alpha,$ $N \lt \alpha \lt (N + 1)$ 等价于 $\lfloor \alpha\rfloor = N.$ 因此，Beatty 定理断言，序列 $\{\lfloor a_{n}\rfloor\}$ 和 $\{\lfloor b_{n}\rfloor\}$ 的整数部分的并集覆盖了自然数集 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}.$
很容易证明 Beatty 序列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 不相交。不仅如此，它们合并的序列没有两个项落在同一个区间 $(N,N+1)$ 中，其中$N\inN$.
这意味着整数部分的序列在 $\mathbb{N}$ 中互补。
$$\{\lfloor a_{n}\rfloor\}\cup \{\lfloor b_{n}\rfloor\} = \mathbb{N}\text{ 且 }\{\lfloor a_n\rfloor\}\cap\{\lfloor b_n\rfloor\} = \emptyset ,$$
在这种情况下两个整数序列被称为互补序列。Beatty 定理展示了一种生成这种互补序列的惊人方法。

Proof

Let $N$ be an integer. There are $\lfloor N/(r + 1)\rfloor$ terms of the first sequence less than $N$. There are $\lfloor N/(s + 1)\rfloor$ such terms from the second sequence. Since none of $a_n$ or $b_n$ is integer,
\begin{equation}
\begin{aligned}&N/(r + 1) - 1 \lt \lfloor N/(r + 1)\rfloor \lt N/(r + 1)\\ &N/(s + 1) - 1 \lt \lfloor N/(s + 1)\rfloor \lt N/(s + 1). \end{aligned}
\label1\end{equation}
Note that\begin{equation}
\frac{1}{r+1}+\frac{1}{s+1}=\frac{1}{r+1}+\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{r}+1}=\frac{1}{r+1}+\frac{r}{r+1}=1.
\label2\end{equation}
Adding up \eqref{1} we thus get$$N - 2 \lt \lfloor N/(r + 1)\rfloor + \lfloor N/(s + 1)\rfloor \lt N,$$which implies $\lfloor N/(r + 1)\rfloor + \lfloor N/(s + 1)\rfloor = N - 1.$ Replacing $N$ with $N + 1$, we see that exactly one term from the union $\{a_{n}\}\cup\{b_{n}\}$ is added. This naturally belongs to the interval $(N, N + 1)$.

Note: elsewhere, there's another proof of Beatty's theorem.

hbghlyj

让我们看看点 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 如何分布在数轴上。标记两个序列的所有点。我们对相邻点对感兴趣。点 $a_{n+1}$ 和 $a_{n}$ 之间的距离等于 $r + 1$，这大于 $1.$ 对于第二个序列也是如此。这证明了属于同一序列的任何两个相邻点之间总有一个整数。

另一方面，如果点 $a_{n}$ 和 $b_{m}$ 是相邻的，我们可以考虑一个线性组合 $\alpha a_{n} + \beta b_{n},$ 其中 $\alpha , \beta \gt 0,$ 且 $\alpha + \beta = 1.$ 所有这样的组合都位于 $a_{n}$ 和 $b_{m}$ 之间。根据 \eqref{2}，我们可以取 $\alpha = 1/(r + 1)$ 和 $\beta = 1/(s + 1)$. 结果：$(n + m)$ 是一个位于 $a_{n}$ 和 $b_{m}$ 之间的整数。