禁用近似值证明 $\sqrt2+\sqrt3>\pi$

isee

源自知乎提问，有些无聊，虽然想了好久~

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题：证明 $\sqrt2+\sqrt3>\pi$.

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提示：看加粗部分即可.


取函数 $g(x)=\tan x+2\sin x-3x,\,0<x<\pi/2$ ，其导数 \[g'(x)=\sec^2 x+\cos x+\cos x-3\geqslant 3\sqrt[3]{\sec^2x\cdot \cos^2 x}-3=0,\] 即 $g(x)$ 在 $(0,\pi/2)$ 上单调递增，所以 \[g(x)>g(0)\iff \bm{\color{blue}{\tan x+2\sin x>3x}},\] 令 $\bm{\color{blue}{x=\dfrac\pi8}}$ ，有 \[\pi<\frac83\Big(\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}-1\Big),\] 从而只需要证明 \begin{gather*}
\Leftarrow 8\Big(\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}-1\Big)<3\Big(\sqrt2+\sqrt3\Big),\\[1ex]
\iff \sqrt{2-\sqrt{2}}<8-5\sqrt2+3\sqrt3,\\[1ex]
\iff {\color{blue}{79\sqrt{2}}}+{\color{olive}{30\sqrt{6}}}<{\color{blue}{139}}+{\color{olive}{48\sqrt{3}}},
\end{gather*} 成立，而上式左边小于右边是显然的，证毕.

ic_Mivoya

$\begin{aligned}\pi^2&=8\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac1{(2k+1)^2}\\&<8\left(1+\dfrac1{3^2}+\sum_{k=2}^{\infty}\dfrac1{(2k+1)^2-1}\right)\\&=8\left(1+\dfrac19+\dfrac14\sum_{k=2}^{\infty}\dfrac1{k(k+1)}\right)\\&=\dfrac{89}9~<~5+2\sqrt6\end{aligned}$

Aluminiumor

其实理论上来说，各种放缩也是变相的取近似值，无非就是想办法有逼格地证出来😂