2025八省联考18：就考光学性质？

kuing

竟然考光学性质，but，直接用光学性质会不会被扣分？

如果不许提光学性质，那也可以用反证法（相当于把光学性质证明一次）。

（1）`c=1`,  `a=c/e=2` 所以是 `x^2/4+y^2/3=1`；

（3）依题意知 `F_1M` 的垂直平分线与椭圆 `C` 相切，设切点为 `Q`，则 `MQ=F_1Q`，所以 `MQ+QF_2=F_1Q+QF_2=2a=4`。

下面证明 `Q` 在 `MF_2` 上：



用反证法，如上图，假设 `Q` 不在 `MF_2` 上，则 `MF_2` 与切线有另一个交点 `N`，且 `N` 在椭圆外，则
\[MF_2=MN+NF_2=F_1N+NF_2>2a=4=MQ+QF_2,\]
这显然与两边之和大于第三边矛盾，所以 `Q` 在 `MF_2` 上。

因此 `MF_2=MQ+QF_2=4`，所以 `M` 的轨迹为圆，方程为 `(x-1)^2+y^2=16`；

（2）因为 `M_0(1,4)` 在（3）的轨迹圆上，所以 `F_1M_0` 的垂直平分线与椭圆相切。

kuing

另外，如果像我这样写法，先求（3），再由（3）得（2），会不会也被扣分？

我记得 @wwdwwd1/17 曾经在我群里分享过他小孩的类似经历，就是在解某一小问的过程中就已经顺便解决了下一小问，于是在答题时就写由上一小问得……，结果该问就没给分。