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\(\require{cancel}\)
题目：已知双曲线 $E:x^2/a^2-y^2/4=1$（$a>0$）的中心为原点 $O$，左，右焦点分别为 $F_1$, $F_2$，离心率为 $3\sqrt5/5$，点 $P$ 是直线 $x=a^2/3$ 上任意一点，点 $Q$ 在双曲线 $E$ 上，且满足 $\vv{PF_2}\cdot\vv{QF_2}=0$。
（1）求实数 $a$ 的值；
（2）证明：直线 $PQ$ 与直线 $OQ$ 的斜率之积是定值；
（3）若点 $P$ 的纵坐标为 $1$，过点 $P$ 作动直线 $l$ 与双曲线右支交于不同两点 $M$, $N$，在线段 $MN$ 上取异于点 $M$, $N$ 的点 $H$，满足 $PM/PN=HM/HN$，证明点 $H$ 恒在一条定直线上。
解：
（1）易求得 $a=\sqrt5$，从而可知 $P$ 在双曲线的右准线上；
（2）先证明 $PQ$ 必为双曲线的切线。
用反证法，如果直线 $PQ$ 与双曲线还有另一公共点 $R$，作 $RS\perp PF_2$ 于 $S$，再分别作 $RR'$, $QQ'$ 垂直于右准线，如图所示。
因 $S$ 必异于 $F_2$，故有 $RF_2>RS$，而由第二定义有
\[\frac{RF_2}{QF_2}=\frac{RR'}{QQ'}=\frac{PR}{PQ}=\frac{RS}{QF_2}\riff RF_2=RS,\]
矛盾，从而 $PQ$ 必为双曲线的切线。
既然是切线，那么若 $Q(x_0,y_0)$，则 $PQ:x_0x/a^2-y_0y/b^2=1$，即 $k_{PQ}=b^2x_0/(a^2y_0)$，而 $k_{OQ}=y_0/x_0$，所以 $k_{PQ}\cdot k_{OQ}=b^2/a^2$ 为定值；
（3）设 $MN$ 与直线 $F_2Q$ 交于 $K$，分别作 $MM'$, $NN'$ 垂直于右准线，再分别作 $MM''$, $NN''$ 垂直于直线 $PF_2$，如图所示。
由第二定义有
\[\frac{MF_2}{NF_2}=\frac{MM'}{NN'}=\frac{PM}{PN}=\frac{MM''}{NN''},\]
因此
\[\triangle F_2MM'' \sim \triangle F_2NN'' \bcancel{\riff \angle MF_2M'' = \angle NF_2N''},\]
又因为 $KF_2\perp PF_2$，$\bcancel{可见 F_2K 为 \triangle F_2MN 的内角平分线，故由内角平分线定理得}$，故
\[\frac{KM}{KN}=\frac{F_2M''}{F_2N''}=\frac{MF_2}{NF_2}=\frac{PM}{PN},\]
因此题目中的 $H$ 实际上就是 $K$，所以 $H$ 恒在直线 $F_2Q$ 上。 |
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爪机专用
发表于 2014-3-14 03:44
青青子衿
发表于 2014-3-15 10:35
，这次是青青子衿反过来提醒kk了，以前是kk提醒青青子衿的，
