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【军长】龙岗数学温老师(2865*****) 1:09:03
设 $OA=a$, $OB=b$, $OC=r$，则由张角定理得
\[\frac1r=\frac{\sin 45\du}a+\frac{\sin 45\du}b,\]
设 $OC$ 的倾斜角为 $\theta$，则 $OA$, $OB$ 的倾斜角分别为 $\theta +45\du $, $\theta -45\du $，故由 $A$, $B$ 在抛物线上得
\begin{align*}
a^2\sin^2(\theta +45\du )&=2pa\cos (\theta +45\du ), \\
b^2\sin^2(\theta -45\du )&=2pb\cos (\theta -45\du ),
\end{align*}
因此
\begin{align*}
\frac1a&=\frac{\sin^2(\theta +45\du )}{2p\cos (\theta +45\du )}=\frac{(\sin \theta +\cos \theta )^2}{4p\sin 45\du (\cos \theta -\sin \theta )}, \\
\frac1b&=\frac{\sin^2(\theta -45\du )}{2p\cos (\theta -45\du )}=\frac{(\sin \theta -\cos \theta )^2}{4p\sin 45\du (\cos \theta +\sin \theta )},
\end{align*}
代入即得
\[\frac1r=\frac{(\sin \theta +\cos \theta )^2}{4p(\cos \theta -\sin \theta )}+\frac{(\sin \theta -\cos \theta )^2}{4p(\cos \theta +\sin \theta )}=\frac{\cos \theta (\cos^2\theta +3\sin^2\theta )}{2p(\cos^2\theta -\sin^2\theta )},\]
即
\[2pr^2(\cos^2\theta -\sin^2\theta )=r^3\cos \theta (\cos^2\theta +3\sin^2\theta ),\]
所以 $C$ 的轨迹方程就是
\[2p(x^2-y^2)=x(x^2+3y^2),\]
其中 $x>0$。 |
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