再请教一道抛物线问题

player1703

自抛物线 $y^2=2px$ 外一点P(不在y轴上)向抛物线引切线PA, PB分别交y轴于C, D. 求证$\triangle$PCD的垂心H在抛物线的准线上.

kuing

根据《撸题集》第 54 页定理 1.2.1 及推论 1.2.1.1 可知 `P`, `C`, `D`, `F` 四点共圆且 `PF` 为其直径，然后将抛物线、坐标系等东西擦掉，画上圆，就变成了下图，要证的就是 `H` 与 `F` 到 `CD` 的距离相等（注意图中的 `O` 不是坐标原点）：

取 `CD` 的中点 `E`，则由 $\vv{PH}+\vv{PF}=2\vv{OE}+2\vv{PO}=2\vv{OE}$ 可知 `E` 也是 `HF` 的中点，从而得证。

player1703

回复 2# kuing
谢谢kuing!我想到用你撸题集那页的共圆结论了(前面解答了我一道抛物线题就用了那个 ). 然后很自然的联系重心和垂心我也想到了用你用的那个2倍的定理, 最后还是没搞出来
有个小笔误是$2\vec{PE}$不是$2\vec{OE}$.
其实CHDF是平行四边形就搞定了其实我已经无限接近证出来了

kuing

回复 3# player1703

是哦，我又粗心又笨了

游客

hbghlyj

在conic_geometry.pdf第13页有，说是Simson line的应用：

hbghlyj

在A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky - Geometry of Conics第25页有：