|
|
kuing
发表于 2019-8-16 16:13
1、记 `t=\cos x`，待定正数 `u`，有
\begin{align*}
f(x)&\leqslant5(2t^2-1)+18\sqrt{1-t^2}+8t\\
&\leqslant5(2t^2-1)+\frac9u(u^2+1-t^2)+8t\\
&=\left( 10-\frac9u \right)t^2+8t+9u+\frac9u-5,
\end{align*}于是应令
\[\led
t&=-\frac4{10-\frac9u},\\
u^2&=1-t^2,
\endled\]可以预见，如果直接代入消元必将出现四次方程，也就是说，这道题如果系数随便写，就会没法做，故此原题的数据必然经过设计（其实有经验的一看就猜到那些数字不是随便给的），亦即此方程组必然有简单解，所以此处更适宜去目测，由 `t^2+u^2=1` 可尝试勾股数，一试即知简单解是 `t=4/5`, `u=3/5`。
心中有数后，扔掉待定的过程，重写装逼过程如下：
\[f(x)=\frac{93}5-\frac35(5\sin x-3)^2-\frac15(5\cos x-4)^2\leqslant\frac{93}5,\]当 `x=\arctan(3/4)` 时取等。 |
|
其妙
发表于 2019-8-21 17:58
）就问过同类的题：
