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源自知乎提问
题：点 D 为三角形 ABC 边 BC 上的一点，若 $AB^2=AD^2+BD\cdot DC$ ，则 $AB=AC$.
以黑体表示向量，如 $\bm {AB}=\overrightarrow {AB}$ 依次类推.
条件转化为向量 \begin{gather*}
AB^2=AD^2+BD\cdot DC\\[1ex]
(\bm {AB}- \bm {AD})(\bm {AB}+ \bm {AD})=\bm {BD}\cdot \bm {DC}\\[1ex]
\bm {DB}\cdot (\bm {AB}+ \bm {AD})+\bm {DB}\cdot \bm {DC}=0\\[1ex]
\bm {DB}\cdot (\bm {AB}+ \bm {AD}+\bm {DC})=0\\[1ex]
\bm {DB}\cdot (\bm {AB}+\bm {AC})=0\tag{01}\\[1ex]
\iff AB=AC.
\end{gather*} 注： $(01)$ 式表明 BC 上的中线与 BC 垂直. |
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