定边定角求最短长

力工

在$\triangle ABC$中，$AB=4\sqrt{3},C=60\du $,$BC$边上有一点$P,BP=\frac{AC}{2}$,求$AP$的最小长度.
我不懂什么“瓜豆原理”，求求个自然点的思路。

乌贼

正$ \triangle ABD $。$ Q $为$ CD $中点\[ \triangle ACD\sim \triangle BPQ \]\[ \angle CPQ=60\du  \]$ P $点为定圆轨迹……

Czhang271828

瓜豆应该是删减版的曲线系? 大概是想说因变量和自变量的轨迹是差不多的曲线.

试一下简单的''半几何半函数法'': 作平行四边形 $ACPQ$, 其中 $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow {AQ}$. 那么 $\triangle PBQ$ 是 $30^\circ $ 直角三角形. 作矩形 $PBQS$.

此时 $Q$ 的轨迹是以 $AB$ 为直径的圆. 设 $\angle QAB=\theta$, 剩下部分可以几何, 我觉得勾股定理+ Cauchy 不等式更快:
\begin{align*}
|AP|^2&=\sin ^2\theta +\left(\cos \theta -\dfrac{\sin\theta }{\sqrt 3}\right)^2\\[10pt]
&=1-\dfrac{\sin 2\theta }{\sqrt 3}+\dfrac{1-\cos 2\theta}{6}\\
&\in \left[\dfrac{7- \sqrt {13}}{6},\dfrac{7+ \sqrt {13}}{6}\right].
\end{align*}

爪机专用

什么瓜豆？我也没听过