一个向量与三角的综合问题

snowblink

定义向量$\overrightarrow{a_{n,x} }=\left ( \cos nx ，\sin nx \right ) $ ，其中$n\in \mathbf{N} ^{*} ，x\in \left ( 0，+\infty  \right ) $，若存在实数$t$，使得对任意的正整数$n$，都有$\left | \overrightarrow{a_{n，x} }-\overrightarrow{a_{1，t} }  \right | > \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}  }{2} $成立，求$x$的最小值.

kuing

这种题能明白命题者想玩啥，也能想出答案，但是要严格证明的话写起来就有困难。
（类似于 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=7596）

`\vv{a_{n,x}}` 的终点在单位圆上，当 `x` 取定，让 `n` 取遍正整数时，记所有的终点构成的点集为 `A`，有两种情况：
（1）如果 `x/\pi` 是有理数，则 `A` 是单位圆上某个内接正多边形的顶点；
（2）如果 `x/\pi` 是无理数，则 `A` 有无数个点，并且它们在单位圆上稠密。

注意到
\[\frac{\sqrt6-\sqrt2}2=2\sin\frac\pi{12},\]
这是一个单位圆内接正 12 边形的边长，所以问题其实就是要单位圆上存在一点 `T`，使得 `A` 中的所有点与 `T` 的距离均大于这个正 12 边形的边长。

那很明显情况（2）是不可能的，也就是 `A` 只能是正多边形的顶点。

考虑临界的情况，即 `A` 中与 `T` 相邻的两点与 `T` 的距离都等于那正 12 边形的边长的话，那 `A` 就是正 6 边形的顶点，所以要大于的话，那最多是正 5 边形，所以 `x` 的最小值是 `2\pi/5`。

snowblink

kuing 发表于 2023-9-6 15:04
这种题能明白命题者想玩啥，也能想出答案，但是要严格证明的话写起来就有困难。
（类似于 kuing.inf ...

感谢 kuing，这种题确实只能这样。代数法两边平方后得到$\overrightarrow{a_{n，x} }  \cdot \overrightarrow{a_{1，t} } <\dfrac{\sqrt{3}  }{2}$然后考虑$\dfrac{2\pi }{x}$，不如几何意义直观