双曲线上动点、焦点、顶点形成的三角形内心在双曲线上

12673zf

假设$P$是双曲线上右支上任一点，连接右焦点$F_{2}$，左顶点$A_{1}$，得到三角形$PA_{1}F_{2}$，常见结论是$\angle PF_2A_1=2\angle PA_1F_2$，但做题时发现该三角形的内心应该也是在双曲线右支上，请问如何证明呢？

kuing

前提是双曲线离心率 e = 2 吧？

经典题是由二倍角推出顶点轨迹是双曲线且 e = 2。
那它的内心 I 由于是角平分线的交点，所以也有 `\angle IF_2A_1=2\angle IA_1F_2`，于是当然也在这条双曲线上。

kuing

咳，才想起，大半年前我就类似地写过：
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=12301
（那边楼主完全没回音）

12673zf

kuing 发表于 2024-12-13 00:58
咳，才想起，大半年前我就类似地写过：
https://kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=1 ...

是的，就是这个题，原题是24年广州二模的多选题压轴题。
我忽略了离心率为2的这个条件，老觉得只有一个焦点，是不是要从偏代数的角度去算，但算不出来

hbghlyj

$A(1,0)$，$B(-1,0)$，给定$k$，求满足$∠PBA:∠PAB=k$的点$P$的轨迹
$$\frac{\tan^{-1}(\frac y{x+1})}{\tan^{-1}(\frac y{x-1})}=k$$
k=2：双曲线
k=3：麦克劳林三等分角线

hbghlyj

在抛物线上任取一点P。作点P处抛物线的切线 m。从点O作切线 m 的垂线，垂足为M。
让点P在抛物线上运动，那么，垂足M的运动轨迹就是所谓的麦克劳林三等分角曲线。
麦克劳林三等分角曲线见下图中的红色曲线。（注意，这条曲线是无限的，这里没有画全。）

hbghlyj

$$\frac{\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x+1}\right)}{\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x-1}\right)}=3\iff y=\pm\sqrt{(x-1)^2(x+2)\over 2-x}$$
用pgfplots作图：

hbghlyj

12673zf 发表于 2024-12-12 16:00
假设$P$是双曲线上右支上任一点，连接右焦点$F_{2}$，左顶点$A_{1}$，得到三角形$PA_{1}F_{2}$，常见结论是 ...

推广：
假设$C$是曲线$\frac{\tan^{-1}(\frac y{x+1})}{\tan^{-1}(\frac y{x-1})}=k$上任一点，$A(1,0)$，$B(-1,0)$，常见结论是$\angle CBA=k\angle CAB$，但做题时发现该三角形的内心应该也是在曲线上，请问如何证明呢？

爪机专用

hbghlyj 发表于 2024-12-14 01:49
$A(1,0)$，$B(-1,0)$，给定$k$，求满足$∠PBA:∠PAB=k$的点$P$的轨迹
$$\frac{\tan^{-1}(\frac y{x+1})}{\t ...

kuingggg.github.io/5d6d/thread-858-1-6.html

hbghlyj

求证曲线$\frac{\tan^{-1}(\frac y{x+1})}{\tan^{-1}(\frac y{x-1})}=k$与 $x$轴的交点是$(\frac{k+1}{1-k},0)$？

hbghlyj

用“多边形”工具，作三角形ABC
输入 LocusEquation(a² == b(b + c), C)
输出  3x² + 2x - y² = 1
这样只有双曲线

hbghlyj

在GeoGebra中，LocusEquation需要满足以下2项要求才有效：

• 对象只能用一部分的几何指令（中点、角平分线、交点……）来构造，不能使用更复杂的指令，例如“重心”。
• 描述轨迹的Boolean约束 是内置的 AreEqual, AreCollinear, AreConcyclic, AreConcurrent, ArePerpendicular, AreParallel, IsTangent 指令中的一种，或距离的代数等式，如LocusEquation[a^2+b^2==c^2,C]
  所以不能是角的等式，如LocusEquation[Angle[B,A,C]==Angle[A,B,C],C]无效
  

kuing 发表于 2019-7-20 07:51
两倍角的时候轨迹恰好是双曲线（课本习题出过），并且 ...

要用LocusEquation作二倍角轨迹（双曲线）想了一种办法：（把∠CBA=2∠CAB等价转换为AD==BD）
A = (-1, 0)
B = (1, 0)
自由点 C
f 为 ∠CBA 的平分线
g 为 直线 CA
D 为 f, g 交点
输入：LocusEquation(AD==BD, C)
输出：3x² y + 2x y - y³ - y = 0（双曲线和直线的并）
输入：Factor(LeftSide(eq1))
输出：y (3x² + 2x - y² - 1)

hbghlyj

在GeoGebra中，LocusEquation需要满足以下2项要求才有效：

• 对象只能用一部分的几何指令（中点、角平分线、交点……）来构造，不能使用更复杂的指令，例如“重心”。
• 描述轨迹的Boolean约束 是内置的 AreEqual, AreCollinear, AreConcyclic, AreConcurrent, ArePerpendicular, AreParallel, IsTangent 指令中的一种，或距离的代数等式，如LocusEquation[a^2+b^2==c^2,C]
  所以不能是角的等式，如LocusEquation[Angle[B,A,C]==Angle[A,B,C],C]无效
  

要用LocusEquation作三倍角轨迹想了一种办法：（把三倍角等价转换为角平分线与定圆相切）
A = (-1, 0)
B = (1, 0)
自由点 C
f 为 ∠ACB 的平分线
d = Circle((1, 0), (0, 0))   注意这一步不能用圆心+半径 Circle((1, 0), 1) 也不能用方程，否则下一步LocusEquation无效
输入：LocusEquation(IsTangent(f, d), C)
输出： 3x⁷ y - 12x⁶ y + 6x⁵ y³ + 6x⁵ y - 8x⁴ y³ + 24x⁴ y + 3x³ y⁵ - 18x³ y³ - 21x³ y + 4x² y⁵ + 24x² y³ - 12x² y - 4x y⁵ - 8x y³ + 12x y = 0（2条三次曲线和2条直线的并）
输入：Factor(LeftSide(eq1))
输出： y x (x³ + x y² - 3x + 2y² - 2) (3x³ - 12x² + 3x y² + 15x - 2y² - 6)
其中的因式x³ + x y² - 3x + 2y² - 2是我们需要的三倍角轨迹方程，剩下的因式都不符合条件。

hbghlyj

改变圆d，能得到其它的轨迹方程（但和三倍角无关）：

d = Circle(A, B) 时，LocusEquation分解得 y (3x² - 10x + 3y² + 3) (4x⁴ + 7x² y² - 24x² + 2x y² - 32x + 3y⁴ - 9y² - 12)

是一直线、一圆、一条四次曲线的并。只有那条四次曲线满足「角平分线与定圆相切」，其余是多出的。

d = Circle(A, (1.5, 0)) 时，LocusEquation分解得 y (4x⁴ - 8x² y² - 9x² + 32x y² - 2x - 12y⁴ - 9y² + 3) (60x⁴ - 240x³ + 72x² y² + 345x² - 80x y² - 210x + 12y⁴ + 57y² + 45)

是一直线、2条四次曲线的并。只有第一条四次曲线满足「角平分线与定圆相切」，其余是多出的。第二条四次曲线是包含在圆d内的八字。

d = Circle((0, 0), A) 时，LocusEquation分解得 y (x⁶ + 3x⁴ y² - 3x⁴ + 3x² y⁴ - 3x² y² + 3x² + y⁶ + y⁴ - y² - 1)

是一直线、一条六次曲线的并。只有那条六次曲线满足「角平分线与定圆相切」，其余是多出的。

d = Circle((0, 0), (0.5, 0)) 时，LocusEquation分解得 y (12x² - 4y² - 3) (4x⁶ + 12x⁴ y² - 9x⁴ + 12x² y⁴ - 18x² y² + 6x² + 4y⁶ + 7y⁴ + 2y² - 1)

是一直线、一条双曲线、一条六次曲线的并。只有那条六次曲线满足「角平分线与定圆相切」，其余是多出的。那条双曲线12x² - 4y² - 3的焦点恰好是A、B

d = Circle((0, 0), (0.5, 0)) 时，LocusEquation分解得 y x (x³ - x² y - 2x² + x y² + 2x y + x - y³ - y² - y) (4x⁴ y + 16x⁴ + 8x² y³ + 20x² y² - x² y - 20x² + 4y⁵ + 4y⁴ + 8y³ + 8y² + 4y + 4)

是2条直线、一条三次曲线、一条五次曲线的并。

hbghlyj

如二倍角、三倍角中说的，LocusEquation不能输入角度约束，需要转化
五倍角轨迹有没有几何的等价转化呢？

想了一种办法：
A = (-1, 0)
B = (1, 0)
自由点 C
h 为 直线 AC
作 AC 的中垂线交 AB 于 D
i 为 直线 CD
h 关于 i 反射到 h'
j 为 ∠ACB 的平分线
输入：LocusEquation(AreEqual(h', j), C)
输出：-2x⁷ y - 9x⁶ y - 2x⁵ y³ - 12x⁵ y - 15x⁴ y³ + 5x⁴ y + 2x³ y⁵ - 40x³ y³ + 30x³ y - 3x² y⁵ - 50x² y³ + 33x² y + 2x y⁷ - 12x y⁵ - 30x y³ + 16x y + 3y⁷ - 7y⁵ - 7y³ + 3y = 0（2条三次曲线和2条直线的并）
输入：Factor(LeftSide(eq1))
输出：-y (x² + 2x + y² + 1) (2x⁵ + 5x⁴ + 10x² y² - 10x² - 2x y⁴ + 20x y² - 10x - 3y⁴ + 10y² - 3)
其中的因式2x⁵ + 5x⁴ + 10x² y² - 10x² - 2x y⁴ + 20x y² - 10x - 3y⁴ + 10y² - 3是我们需要的五倍角轨迹方程，剩下的因式都不符合条件，因式x² + 2x + y² + 1是点圆A。

hbghlyj

以上轨迹可以拆成3部分的并：

$5\alpha=\beta$	y^2 == (1 + x)^2 (3 - 2 x)/(5 + 2 Sqrt[4 + x^2]) $y^2=\frac{(1+x)^2(3-2x)}{5+2\sqrt{4+x^2}}$
$5\alpha=\beta+180$°	y/(1 + x) == Sqrt[(3 - 2 x)/(5 - 2 Sqrt[4 + x^2])] $\frac{y}{1+x}=\sqrt{\frac{3-2x}{5-2\sqrt{4+x^2}}}$
$5\alpha=\beta+360$°	y/(1 + x) == -Sqrt[(3 - 2 x)/(5 - 2 Sqrt[4 + x^2])] $\frac{y}{1+x}=-\sqrt{\frac{3-2x}{5-2\sqrt{4+x^2}}}$

hbghlyj

爪机专用 发表于 2024-12-13 18:14
kuingggg.github.io/5d6d/thread-858-1-6.html

方程$\dfrac{\tan^{-1}(\frac{y}{x-1})}{\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)}=k$，如何把$y$表示为$x$的函数？在$(x,y)=(0,0)$附近

即$\frac{y}{x-1}=\tan \left(k \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\right)$
设$z=\frac{y}{x}$，得到$\frac{y}{x-1}=\tan \left(k \tan ^{-1}\left(z\right)\right)$
将$z$表示为$x$的函数，需要满足$$\tag{*}\label{*}
x=\frac{\tan \left(k \tan ^{-1}(z(x))\right)}{\tan \left(k \tan ^{-1}(z(x))\right)-z(x)}$$
在$(x,y)=(0,0)$有$y=0$，得到$0=\tan \left(k \tan ^{-1}\left(z\right)\right)$，取其中一个解$z=\frac\pi k$，得到
$$\tag0\label0
z(0)=\frac\pi k$$
对\eqref{*}求导，代入\eqref{0}，解出$z'(0)$得

1. FullSimplify[Solve[FullSimplify[D[Tan[k ArcTan[z[x]]]/(-z[x]+Tan[k ArcTan[z[x]]]),x]/.z[x]->Tan[Pi/k],k>2]==1,(z^\[Prime])[x]],k>2]

复制代码

$$\tag1\label1
z'(0)=-\frac{\tan \left(\frac{\pi }{k}\right) \sec ^2\left(\frac{\pi }{k}\right)}{k}$$
对\eqref{*}求2次导，代入\eqref{0}\eqref{1}，解出$z''(0)$得

1. FullSimplify[Solve[FullSimplify[D[Tan[k ArcTan[z[x]]]/(-z[x]+Tan[k ArcTan[z[x]]]),{x,2}]/.{z[x]->Tan[Pi/k],(z^\[Prime])[x]->-((Sec[\[Pi]/k]^2 Tan[\[Pi]/k])/k)},k>2]==0,(z^\[Prime]\[Prime])[x]],k>2]

复制代码

$$\tag2\label2
z''(0)=-\frac{2 \tan \left(\frac{\pi }{k}\right) \sec ^2\left(\frac{\pi }{k}\right) \left(k-2 \sec ^2\left(\frac{\pi }{k}\right)+1\right)}{k^2}$$
对\eqref{*}求3次导，代入\eqref{0}\eqref{1}\eqref{2}，解出$z'''(0)$得

1. FullSimplify[Solve[FullSimplify[D[Tan[k ArcTan[z[x]]]/(-z[x]+Tan[k ArcTan[z[x]]]),{x,3}]/.{z[x]->Tan[Pi/k],(z^\[Prime])[x]->-((Sec[\[Pi]/k]^2 Tan[\[Pi]/k])/k),(z^\[Prime]\[Prime])[x]->-((2 Sec[\[Pi]/k]^2 (1+k-2 Sec[\[Pi]/k]^2) Tan[\[Pi]/k])/k^2)},k>2]==0, (z^(3))[x]],k>2]

复制代码

$$\tag3\label3
z'''(0)=\frac{2 \tan \left(\frac{\pi }{k}\right) \sec ^2\left(\frac{\pi }{k}\right) \left(-2 (k+1) (2 k+1)-15 \sec ^4\left(\frac{\pi }{k}\right)+(k (k+12)+14) \sec ^2\left(\frac{\pi }{k}\right)\right)}{k^3}$$
对\eqref{*}求4次导，代入\eqref{0}\eqref{1}\eqref{2}\eqref{3}，解出$z''''(0)$得

1. FullSimplify[Solve[FullSimplify[D[Tan[k ArcTan[z[x]]]/(-z[x]+Tan[k ArcTan[z[x]]]),{x,4}]/.{z[x]->Tan[Pi/k],(z^\[Prime])[x]->-((Sec[\[Pi]/k]^2 Tan[\[Pi]/k])/k),(z^\[Prime]\[Prime])[x]->-((2 Sec[\[Pi]/k]^2 (1+k-2 Sec[\[Pi]/k]^2) Tan[\[Pi]/k])/k^2),(z^(3))[x]->(2 Sec[\[Pi]/k]^2 (-2 (1+k) (1+2 k)+(14+k (12+k)) Sec[\[Pi]/k]^2-15 Sec[\[Pi]/k]^4) Tan[\[Pi]/k])/k^3},k>2]==0, (z^(4))[x]],k>2]

复制代码

$$\tag4\label4
z''''(0)=\frac{8 \tan \left(\frac{\pi }{k}\right) \sec ^2\left(\frac{\pi }{k}\right) \left(-(k+1) (2 k+1) (3 k+1)+42 \sec ^6\left(\frac{\pi }{k}\right)-3 (k (2 k+15)+19) \sec ^4\left(\frac{\pi }{k}\right)+(k+1) (k (3 k+23)+19) \sec ^2\left(\frac{\pi }{k}\right)\right)}{k^4}$$
依此类推，得出$z^{(n)}(0)$

hbghlyj

代入$z(x)=z(0)+z'(0)x+\frac{z''(0)}2x^2+\frac{z'''(0)}{3!}x^3+\frac{z''''(0)}{4!}x^4+O(x^5)$和$y(x)=z(x)\cdot x$得，

1. SeriesData[x,0,{z[0],(z^\[Prime])[0],(z^\[Prime]\[Prime])[0]/2!,(z^(3))[0]/3!,(z^(4))[0]/4!}/.{z[0]->Tan[Pi/k],(z^\[Prime])[0]->-((Sec[\[Pi]/k]^2 Tan[\[Pi]/k])/k),(z^\[Prime]\[Prime])[0]->-((2 Sec[\[Pi]/k]^2 (1+k-2 Sec[\[Pi]/k]^2) Tan[\[Pi]/k])/k^2),(z^(3))[0]->(2 Sec[\[Pi]/k]^2 (-2 (1+k) (1+2 k)+(14+k (12+k)) Sec[\[Pi]/k]^2-15 Sec[\[Pi]/k]^4) Tan[\[Pi]/k])/k^3,(z^(4))[0]->(8 Sec[\[Pi]/k]^2 (-((1+k) (1+2 k) (1+3 k))+(1+k) (19+k (23+3 k)) Sec[\[Pi]/k]^2-3 (19+k (15+2 k)) Sec[\[Pi]/k]^4+42 Sec[\[Pi]/k]^6) Tan[\[Pi]/k])/k^4},1,6,1]

复制代码

\begin{align*}
y(x)&=x \tan \left(\frac{\pi }{k}\right)
\\&-\frac{x^2 \tan \left(\frac{\pi }{k}\right) \sec ^2\left(\frac{\pi }{k}\right)}{k}
\\&-\frac{x^3 \tan \left(\frac{\pi }{k}\right) \sec ^2\left(\frac{\pi }{k}\right) \left(k-2 \sec ^2\left(\frac{\pi }{k}\right)+1\right)}{k^2}
\\&+\frac{x^4 \tan \left(\frac{\pi }{k}\right) \sec ^2\left(\frac{\pi }{k}\right) \left(-2 (k+1) (2 k+1)-15 \sec ^4\left(\frac{\pi }{k}\right)
+(k (k+12)+14) \sec ^2\left(\frac{\pi }{k}\right)\right)}{3 k^3}
\\&+\frac{x^5 \tan \left(\frac{\pi }{k}\right) \sec ^2\left(\frac{\pi }{k}\right) \left(-(k+1) (2 k+1) (3 k+1)+42 \sec ^6\left(\frac{\pi }{k}\right)-3 (k (2 k+15)+19) \sec ^4\left(\frac{\pi }{k}\right)+(k+1) (k (3 k+23)+19) \sec ^2\left(\frac{\pi }{k}\right)\right)}{3 k^4}
\\&+O\left(x^6\right)\end{align*}