一道抛物线题目，有没有纯几何解法

aishuxue

抛物线$y^2=2px$上三点$A,B,C$构成直角三角形，且斜边$AB$平行于$y$轴，求斜边$AB$边上的高。

aishuxue

能借助于定义及射影定理几步头搞定吗？？

kuing

几何方法没想到，倒是想到了如下的几乎不用计算的曲线系的方法。

不妨设 $p>0$，那么显然 $C$ 在 $AB$ 左侧。由对称性知，$C$ 关于 $x$ 轴对称的点 $D$ 也在抛物线上，也就是说以 $AB$ 为直径的圆与抛物线交于 $A$, $B$, $C$, $D$ 四点。
设直线 $CD$ 和 $AB$ 的方程分别为 $x=x_1$ 和 $x=x_2$（$x_1<x_2$），那么圆的方程可以表示为 $(x-x_2)^2+y^2=r^2$，于是，过 $A$, $B$, $C$, $D$ 的二次曲线系方程为
\[\lambda(y^2-2px)+\mu\bigl((x-x_2)^2+y^2-r^2\bigr)=0,\]而它能够退化为直线 $CD$ 和 $AB$，也就是说存在 $\lambda$ 和 $\mu$ 使上式成为 $(x-x_1)(x-x_2)=0$，没有了 $y$，这只能是当 $\lambda+\mu=0$ 时，此时上式化简为
\[x^2+2(p-x_2)x+x_2^2-r^2=0,\]故
\[x_1+x_2=-2(p-x_2) \iff x_2-x_1=2p,\]即所求的高就是 $2p$。

kuing

不知楼主所知道的方法是如何呢？

aishuxue

我也没有什么好方法！

沉香陈香

利用ac=-1，结合平移即可秒杀，不知是否是楼主要的方法

kuing

回复 6# 沉香陈香

详细写写？

isee

回复  沉香陈香

详细写写？
kuing 发表于 2013-6-30 11:52

他已经写了，这种方式倒是常用，初中，不过，多数时候是讨论一些字母的范围，如老论坛的，四个整数解，那个二次方程……

先mark，随后学习

晚安，先

kuing

回复 8# isee

oh，原来补传了图，我还一直等Ta发……
还真的射影定理了，蛮不错的

其妙

回复 3# kuing
很大气的做法。曲线系，我喜欢

其妙

设$A({x_1},{y_1}),B({x_1},{y_2}),C(m,n),({y_1} > {y_2})$，于是$\triangle ABC$的高$h = CH = {x_1} - m$，
由射影定理，${h^2} = AH \cdot HB = ({y_1} - n)(n - {y_2})$，
显然，${y^2} - 2p{x_1} = (y - {y_1})(y - {y_2})$对任何$y\in R$都成立，故可在此恒等式中令$y = n$得，
${n^2} - 2p{x_1} = (n - {y_1})(n - {y_2})$ ，再结合${n^2} = 2pm$， ${h^2}{\rm{ = }}({y_1} - n)(n - {y_2})$得，$2pm - 2p{x_1} = - {h^2}$
由于$h = CH = {x_1} - m$ ，
故$ - 2ph =-{h^2}$，于是$\triangle ABC$的高$h = 2p$ 。

其妙

顺便问一下楼主，此题的标答是什么？

player1703

实在不好意思挖坟, 但是纯几何法有了


设抛物线的焦点为$F$, 准线与$x$轴的交点为$F'$, $AB$与$x$轴交点为$K$, 过$C$作$CH\perp x$轴于$H$
分别取$AC$, $BC$ 的中点 $D$, $E$, 连接$DE$交$x$轴于$M$, 连接$CM$.
作抛物线于点$C$处切线交$x$轴于$Q$, 过$D$, $E$ 分别作准线的垂线交抛物线于$A1$, $B1$, 交切线$CQ$于$D'$, $E'$, 连接$A1B1$.
过$C$作准线垂线垂足为$N$, 连接$NQ$, $NF$, $CF$.

显然线段$HK$的长度就是$Rt\triangle ABC$斜边$AB$上的高
$DE$为中位线, $CH\parallel DE\parallel AB$. $M$为$HK$的中点
根据抛物线切线的性质, 如果设抛物线在$A1$, $B1$处的切线分别为$T1$, $T2$, 有$T1\parallel AC$, $T2\parallel BC$, 并且 $A1$, $B1$ 分别为 $DD'$, $EE'$ 的中点
$\because AC \perp BC \therefore T1 \perp T2 \therefore A1$, $B1$是焦点弦经过$F$. $\because DD' \parallel MQ \parallel EE' \therefore F$ 为$MQ$的中点.
根据抛物线光学性质, $CQ$平分$\angle NCF$. 再由 $CN=CF$, $N$, $F$ 关于 $CQ$ 对称, $CQ$平分$\angle FQN$. $\angle FCQ = \angle NCQ = \angle CQF = \angle CQN$. $NQ \parallel CF$.
$NQFC$ 是平行四边形. $NC = QF= FM$. $NCMF$ 也是平行四边形. $Rt\triangle NFF' \cong Rt\triangle CMH$. $HM = F'F = p$.
$\therefore h = HK = 2HM = 2p$

kuing

回复 13# player1703

实在不好意思挖坟, 但是纯几何法有了 ...
player1703 发表于 2016-9-7 09:23

不用不好意思，只要有新的想法，我们欢迎挖坟不过上图线太多暂时没心思看

其妙

顺便问一下楼主，此题的标答是什么？
其妙 发表于 2013-7-1 22:16

还是不见标答

isee

回复  player1703
不用不好意思，只要有新的想法，我们欢迎挖坟不过上图线太多暂时没心思看 ...
kuing 发表于 2016-9-8 13:29

这个几何证明还真是地道的几何证明，真正的圆锥曲线的性质。

13楼的7~9行，我还真不知道。

player1703

原题结论是下面这个性质的特例(出处: lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5121517):
若抛物线$y^2=2px$的内接Rt$\triangle$ABC的直角顶点C的坐标为$(x_0,y_0)$, 则斜边AB必过定点$(x_0+2p,-y_0)$.

我给的那个引用里的证明是解析法, 下面用纯几何法证明(有些步骤和13楼相似, 因为13楼的方法其实相当于把这个性质从头证了一遍):

过C作抛物线的切线交抛物线对称轴于Q. 取AC, BC的中点D, E. 连接DE交对称轴于M. 过D, E作对称轴的平行线分别交抛物线于I,J, 交切线CQ于K,L. 连接IJ. 过C,M作直线交AB于N. 下面证N为一定点:
由抛物线切线性质I,J分别为DK, EL的中点. I, J处的切线分别与AC, BC平行. 所以I, J处的切线互相垂直, IJ经过抛物线的焦点F. 得出F为QM的中点. 所以M为一定点. 而DE为$\triangle$ABC的中位线所以M为CN的中点,也就是说N是一个定点.
为了求N的坐标由切线性质可得Q的坐标为$(-x_0, 0)$, 从而求得M的坐标为$(x_0+p, 0)$, 最后便得N的坐标为$(x_0+2p,-y_0)$.

kuing

回复 17# player1703

今天开始准备存PDF，看到这里，这个图线没那么多，总算看懂了！
然后再看 13# 的，也看懂了！very 乃思！！补点赞