运动法继续——椭圆弧长差问题（wwd供题）

kuing

还是来自减压群，因为今天中午还在聊昨晚那个速度分解法，wwd又提供了一题：

生如夏花(2365*****) 11:12:51

我编的这题，应该可以勾起别人的兴趣

注：这里是 弧BP - 弧AP
\(\newcommand\hu[1]{\mathrm{arc}(#1)}\)
再注：由于论坛上打不出弧符号，这里以 $\hu{BP}$ 表示 弧BP。

题目：椭圆 `x^2/4+y^2=1`, `A(2,0)`, `B(0,1)`，在第一象限的椭圆上一点 `P` 满足 $\hu{BP}-\hu{AP}=1$，求 `P` 的坐标。

先给出一个引理：已知 `C_1`, `C_2` 均是以 `F_1`, `F_2` 为焦点的圆锥曲线，在 `C_1` 上取一点 `P` 向 `C_2` 作两条切线 `PP_1`, `PP_2`，`C_1` 在 `P` 处的切线为 `l`，则 `l` 为 `\angle P_1PP_2` 的内角平分线或外角平分线。（当 `C_1`, `C_2` 都是椭圆时必为外角，当 `C_1`, `C_2` 分别为双曲线和椭圆必为内角，其他情况内角外角都有可能，由切点是否在同一支上而定）

证明：只证 `C_1`, `C_2` 分别为双曲线和椭圆的情形，其他情况类似。

如图，由光学性质知 `l` 为 `\angle F_1PF_2` 的内角平分线，由《撸题集》第 519 页图 4.7.23 可知 `\angle F_1PP_1=\angle F_2PP_2`，从而 `l` 也为 `\angle P_1PP_2` 的内角平分线。

回到原题，椭圆 `x^2/4+y^2=1` 的两焦点为 `F_1\bigl(-\sqrt3,0\bigr)`, `F_2\bigl(\sqrt3,0\bigr)`，设 `P_0(2,1)`，现在，作一双曲线，使其以 `F_1`, `F_2` 为焦点且经过 `P_0`，在此双曲线右支上取一点 `P`，向椭圆作两切线 `PQ`, `PR` 且切点 `Q`, `R` 都在第一象限内，如图所示。

记 $S_1=\hu{BQ}+QP$, $S_2=\hu{AR}+RP$，当 `P` 沿双曲线向下运动时，根据引理，其速度方向与 `PQ`, `PR` 的夹角总是相同，由此可得，`S_1` 与 `S_2` 的减少量也总是相同的，也就是说，`S_1-S_2` 是恒定的，而当 `P` 位于 `P_0` 时，`S_1-S_2=P_0B-P_0A=2-1=1`，故此当 `P` 运动到双曲线与椭圆的交点时，仍有 `S_1-S_2=1`，所以，此交点便是题目所求的点。

由所设不难计算出双曲线的方程为 `x^2/2-y^2=1`，与椭圆方程联立即解得所求交点为
\[\left(\frac23\sqrt6,\frac13\sqrt3\right).\]

kuing

稍微一般化一下就是：
共焦点的椭圆与双曲线，在双曲线上取点并作椭圆切线如图，有 $\hu{BP}-\hu{AP}=BP_0-AP_0$。

isee

弧差都有双曲线，wwd 这题编的有趣了

kuing

回复 2# kuing

忘了说，反过来，在椭圆上取点向双曲线作切线也是一样的，只不过对取点有要求，要确保切点在同一支上：

kuing

这个更好玩，两同焦椭圆，则：$PA+PB-(PA_0+PB_0)=\hu{B_0B}-\hu{A_0A}$。

可看作椭圆定义的推广（当小椭圆退化为焦点连线段时），同样，2#也可看出双曲线定义的推广。

wwdwwd117

回复 5# kuing

可以换种表述，就是在P点运动过程中，PA+PB+优弧AB=定值。
这样，我们进一步可以这么说：如果有一根长度大于内椭圆C1周长的细绳，我们把细绳首位相接成一个绳圈，现将绳圈套在C1上，然后拿只笔将绳圈绷紧，画一圈（就像椭圆定义中两根钉子一根绳子画椭圆那样画），则画出的必然是一个与C1共焦点的椭圆。（图中外椭圆）正如kk所说，当C1退化为一条线段F1F2时，就是椭圆的定义。

wwdwwd117

回复 6# wwdwwd117


    然后回到定义画椭圆，一直有一个小顽疾：就是当我们在黑板上画出上半个椭圆，这时绳子会被钉子挡住，必须手动把绳子换过来，再继续画下半个椭圆。
现在好了，我们只要做一个绳圈（周长为2a+2c），套在那两个钉子上，然后再画椭圆，这回就顺畅了，一笔画完。有谁会想到，这么一个简单的处理方法，我是在运动法弄完上面这个同焦椭圆问题，再考虑退化后，才想到的呢？

kuing

可以换种表述，就是在P点运动过程中，PA+PB+优弧AB=定值。
这样，我们进一步可以这么说：如果有一根长度大 ...
wwdwwd117 发表于 2018-9-3 11:19

我离完美结论总是差那么点
让我想起这帖 bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2822833
PS、我帮你补了个图

游客

不知道椭圆的弧长怎么算，两边的切点会不会跑得有快慢？

kuing

回复 10# 游客

肯定是有快有慢的，不过这不影响总长。

kuing

还是稍微解释一下：

如图，`A_0` 为定点，记 $S=\hu{A_0A}+AP$，设 `P` 的速度为 `v_P`，切点 `A` 也有一个速度 `v_A`，那么 $\hu{A_0A}$ 的变化率为 `v_A`，而 `AP` 的变化率则为 `-v_A+v_P\cos\theta`，故此，`S` 的变化率为 `v_P\cos\theta`，也就是说，`S` 的变化率只取决于 `P` 的速度及其与切线的夹角。

wwdwwd117

回复 8# kuing

谢谢补图，这个椭圆上红色部分我还画不出来。。。
我们都知道是等价的，不过换种说法似乎更符合人类的审美观

kuing

时隔两年的这帖 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=7405 提醒我这帖忘了抛物线没提……

首先如下图：

焦点为 `F` 的抛物线外一点 `P` 作两切线，切点为 `A`, `B`，则熟知 `\triangle PFA\sim\triangle BFP`（见《撸题集》P.998 或 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=5481 的 4#），所以 `\angle APF=\angle PBF`，作 `PC` 平行于抛物线对称轴，则由光学性质知 `\angle PBF=\angle BPC`，所以 `\angle APF=\angle BPC`。

然后如下图：

两条抛物线共焦点，且对称轴相同，由光学性质，`P` 处的切线与 `PF`, `PC` 的夹角相同，结合上述结论 `\angle APF=\angle BPC`，可知切线与 `PA`, `PB` 的夹角也相同，记为 `\theta`。

现在让 `P` 以速度 `v` 在抛物线上运动，切点 `A`, `B` 的速度记为 `v_A`, `v_B`，则
\begin{align*}
\frac{\rmd PA}{\rmd t}&=v\cos\theta-v_A,\\
\frac{\rmd PB}{\rmd t}&=-v\cos\theta+v_B,\\
\frac{\rmd(\hu{AB})}{\rmd t}&=-v_A+v_B,
\end{align*}所以
\[\frac{\rmd(PA+PB-\hu{AB})}{\rmd t}=0,\]也就是说 $PA+PB-\hu{AB}$ 为定值。

双共焦双曲线也是一样，就不再详写了，如图：

同样有 `P` 处的切线与 `PA`, `PB` 的夹角相同，当切点在同一支上时，就有 $PA+PB-\hu{AB}$ 为定值。

这样，双椭圆、双抛物线、双双曲线的结论就是统一的，而对于双椭圆，加上小椭圆的周长，就变成 `PA+PB+\text{优弧}~AB` 为定值。

青青子衿

原来叫
这个与 Graves 定理非常类似的定理，叫做 Mac Cullagh 定理
zhuanlan.zhihu.com/p/385796326