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v6(2646*****) 2022/7/22 21:35:31
做题这个题不用特殊法可以吗？
记 `\angle MA_1A_2=\alpha`, `\angle MA_2A_1=\beta`，熟知 `\tan\alpha\tan\beta=9/4`，记 `M` 到 `y` 轴距离为 `h_M`，则 `\cot\alpha+\cot\beta=A_1A_2/h_M`，于是
\[2\S{MA_1A_2}=h_M\cdot A_1A_2=\frac{h_M}{A_1A_2}\cdot(A_1A_2)^2=\frac{(A_1A_2)^2}{\cot\alpha+\cot\beta},\]
对 `\triangle NA_1A_2` 也一样道理，只是两个角变成了 `90\du-\alpha` 和 `90\du-\beta`，那只要将 `\cot` 变成 `\tan`，也就是
\[2\S{NA_1A_2}=\frac{(A_1A_2)^2}{\tan\alpha+\tan\beta},\]
所以
\[\frac{\S{MA_1A_2}}{\S{NA_1A_2}}=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{\cot\alpha+\cot\beta}=\tan\alpha\tan\beta=\frac94.\] |
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