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本帖最后由 O-17 于 2023-4-8 23:10 编辑 原题:
已知 $\bm{a},\bm{b},\bm{c},\bm{d}$ 是空间中的四个单位向量, 且 $\bm{a}+\bm{b}+\bm{c}=\bm{0}$ , 求 $\left|\bm{a}-\bm{d}\right|+\left|\bm{b}-\bm{d}\right|+\left|\bm{c}-\bm{d}\right|$ 的取值范围.
等价的立体几何表述:
已知三棱锥 $S-ABC$ 的底面 $\triangle ABC$ 是边长为 $\sqrt{3}$ 的正三角形, 顶点 $S$ 到 $\triangle ABC$ 的重心 $O$ 的距离 $\left|OS\right|=1$ , 求 $\left|AS\right|+\left|BS\right|+\left|CS\right|$ 的取值范围. (三棱锥可任意退化)
等价的代数表述一:
若 $x,y,z\in\mathbb{R}$ 满足 $x^2+y^2+z^2=1$ , 求 $u$ 的取值范围, 其中
$$
u:=\sqrt{x^2+(y-1)^2+z^2}+\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(y+\frac12\right)^2+z^2}+\sqrt{\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(y+\frac12\right)^2+z^2}
$$
等价的代数表述二:
已知 $x,y\in\mathbb{R}$ 满足 $x^2+y^2\leqslant1$ , 求 $u$ 的取值范围, 其中
$$
u:=\sqrt{2-2y}+\sqrt{2+\sqrt{3}x+y}+\sqrt{2-\sqrt{3}x+y}
$$
结果应该是 $\left[2\sqrt{3},3\sqrt{2}\right]$ , 其中最大值在 $OS$ 垂直于平面 $ABC$ 时取到, 最小值在 $S$ 与 $A,B,C$ 任一个重合时取到.
最大值是很容易的, 在"等价的代数表述二"中直接使用算术 - 平方均值不等式即得. 至于最小值, 一种常见错解是在"原题"中直接用向量的三角不等式, 或者在"等价的代数表述一"中直接用 Minkowski 不等式, 都会导致放过头得到 $3$ .
对于最小值, 我的想法是先用调整法证明最小值在 $z=0$ 取到, 然后随便柯西还是三角换元都可以很容易地解决了, 但是这个调整法我没做出来...
在此求助一下最小值有何求解方法. |
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kuing
发表于 2023-4-8 22:58
