幂塔函数 $f_n$ 与 $f_{n+1}$ 在 $x=1$ 处的前$n$阶导数相同

hbghlyj

考虑函数序列：
$f_1(x) = x$
$f_{n+1}(x) = x^{f_n(x)}\forall n\ge 1$
求证 $d_n(x) = f_n(x) - f_{n+1}(x)$ 在 $x=1$ 处的 $k$ 阶导数对于 $0 \leq k \leq n$ 均为 0，而 $(n+1)$ 阶导数非零。
此结果揭示幂塔函数在 $x=1$ 处逐渐趋同的阶数增加现象。

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通过归纳法证明：$d_n^{(k)}(1) = 0\;\forall0 \leq k \leq n$，且 $d_n^{(n+1)}(1) \neq 0$。

基础情形 (n=1)
$d_1(x) = x - x^x$
$d_1(1) = 0$
$d_1'(x) = 1 - x^x (\ln x + 1)$，故 $d_1'(1) = 0$
$d_1''(x) = -[x^x (\ln x + 1)^2 + x^x / x]$，故 $d_1''(1) = -2 \neq 0$
成立。

归纳假设
假设对于 $m \geq 1$ 成立。

归纳步骤
$d_{m+1}(x) = f_{m+1}(x) - f_{m+2}(x) = f_{m+1}(x) (1 - e^{-d_m(x) \ln x})$
令 $t = x - 1$，$d_m(x) = \frac{c}{(m+1)!} t^{m+1} + O(t^{m+2})$，$c \neq 0$。
则 $w(x) = d_m(x) \ln x = k t^{m+2} + O(t^{m+3})$，$k \neq 0$。
$e^{-w(x)} = 1 - k t^{m+2} + O(t^{m+3})$
故 $1 - e^{-w(x)} = k t^{m+2} + O(t^{m+3})$
$f_{m+1}(x) = 1 + O(t)$，因此 $d_{m+1}(x) = k t^{m+2} + O(t^{m+3})$
最低阶为 $m+2$，导数非零。

由归纳，对所有 $n$ 成立。

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点$x=1$可以用区间 $[e^{−e},e^{1/e}]$ 中的任意一点代替，结果相同