等差组合数求和

tommywong

$\displaystyle \sum_{i=1}^n C_{2i-1}^m=(\frac{-1}{2})^m (n-\sum_{i=0}^{m-1} (-2)^i C_{2n+1}^{i+2})$

$\displaystyle \sum_{i=1}^n C_{2i}^m=C_{2n+1}^{m+1}-C_1^{m+1}+(\frac{-1}{2})^m (\sum_{i=0}^{m-1} (-2)^i C_{2n+1}^{i+2}-n)$

$\sum_{i=1}^n C_{a+di}^m=?$

战巡

回复 1# tommywong


楼主这是在开玩笑吧.........
你这$m$是等于几啊？$m=0, m=1$还可以接受，$m=2$呢？
第一项变成$C_1^2$，这是什么东西啊？

tommywong

姆Q提供了一个好方法，先链接到这里。

bbs.emath.ac.cn/thread-5247-1-1.html

tommywong

大突破！无单位根公式：

$\displaystyle\sum_{k=0}^n C_{a+dk}^m=\sum_{r=0}^{d-1} (C_{m+1+n+[\frac{a}{d}]-r}^{m+1}-C_{m+[\frac{a}{d}]-r}^{m+1})\sum_{k=0}^{m+1} (-1)^k C_{m+1}^k C_{m+(a-m)remd+dr-dk}^m$

$\displaystyle\sum_{k=0}^2 C_{3+7k}^3=\sum_{r=0}^6 C_{6-r}^4 \sum_{k=0}^4 (-1)^k C_4^k C_{3+7r-7k}^3=C_6^4+(C_{10}^3-4C_3^3)C_5^4+(C_{17}^3-4C_{10}^3+6C_3^3)C_4^4=15+(116)5+206=801$