呐什么是双曲线吧

isee

对勾函数$f(x)=ax+\dfrac bx(a>0,b>0)$，其实就是双曲线吧？
经常用其单调性及中心对称，偶尔被质疑一下，是不是轴对称的，一时懵了。

旋转坐标是怎么来着？路过的，肯定或否定一下：对勾函数$f(x)=ax+\dfrac bx(a>0,b>0)$也是轴对称的。

kuing

曲线 $F(x,y)=0$ 绕原点逆时针旋转 $\alpha$ 角后的曲线为 $F(x\cos\alpha+y\sin\alpha,y\cos\alpha-x\sin\alpha)=0$。

isee

翻了一下甲种本人教老教材的电子版平面解析几何，第145页，一般二次方程的讨论。

$y=ax+\dfrac bx\Rightarrow ax^2-xy+b=0,B^2-4AC=1-0>0$，故，这里回答是：肯定。

isee

曲线 $F(x,y)=0$ 绕原点逆时针旋转 $\alpha$ 角后的曲线为 $F(x\cos\alpha+y\sin\alpha,y\cos\alpha-x\sin\ ...
kuing 发表于 2014-3-17 14:16

自从高考不考这些玩意后，就完全生了……

现行2004年审订的人教教材B版，必修4里倒是有这个旋转公式……

isee

翻了一下甲种本人教老教材的电子版平面解析几何，第145页，一般二次方程的讨论。

$y=ax+\dfrac bx\Rightar ...
isee 发表于 2014-3-17 14:22

要用个这个甲种本教材的人，肯定都不小了。

二次方程一般结果：

isee

哦，二元……少了两字

kuing

\begin{align*}
& ax^2-xy+b=0 \\
\longrightarrow{} & a(x\cos\alpha+y\sin\alpha)^2-(x\cos\alpha+y\sin\alpha)(y\cos\alpha -x\sin\alpha)+b=0 \\
\iff{} & (a\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha)x^2+(a\sin^2\alpha-\sin\alpha \cos\alpha)y^2+(2a\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)xy+b=0,
\end{align*}
当 $2a\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=0$ 时
\begin{align*}
&(a\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha)(a\sin^2\alpha-\sin\alpha\cos\alpha) \\
={}&\frac14(2a\sin\alpha\cos\alpha+2\sin^2\alpha)(2a\sin\alpha\cos\alpha -2\cos^2\alpha) \\
={}&\frac14(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha+2\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha -\sin^2\alpha-2\cos^2\alpha) \\
={}&{-}\frac14,
\end{align*}
因 $2a\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=0$ 必有解，故若 $b\ne0$，则此时必为双曲线。

isee

曲线 $F(x,y)=0$ 绕原点逆时针旋转 $\alpha$ 角后的曲线为 $F(x\cos\alpha+y\sin\alpha,y\cos\alpha-x\sin\ ...
kuing 发表于 2014-3-17 14:16

好不习惯，你旋转的是图象，我看的是旋转坐标，

不过，kuing 真是了得，这还记得

kuing

回复 8# isee

将坐标系旋转？那就将 $\alpha$ 变成 $-\alpha$ 就行了吧……

不过，其实我是不记得的，临时推……

isee

回复 9# kuing


    是这样子，不过，无所谓了，一个顺一个逆。


哈哈，原来也是现炒现卖

\begin{align*}
&(a\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha)(a\sin^2\alpha-\sin\alpha\cos\alpha) \\
={}&\frac14(2a\sin\alpha\cos\alpha+2\sin^2\alpha)(2a\sin\alpha\cos\alpha -2\cos\alpha^2)
\end{align*}

怎么代换的？书写有误吧

kuing

回复 10# isee

没错的，拿一个过去，拿一个回来

kuing

回复 10# isee

噢，原来是最后一项的平方写错了位置，我改一下