证明组合恒等式

isee

设$n$是不小于3的正整数，试用直观的组合来解释下列等式\[C_{C_n^2}^2=3C_{n+1}^4.\]

PS：双击公式能放大

wzxsjz

n+1个点确定的直线中异面直线最多有多少对

isee

回复 2# wzxsjz


    引用个解释

    “若有n个点A，B，C，$\cdots$，则等式左边可解释为：n个点组成的线段对的个数；
    “现在增加一个额外的点q，并考虑每四个点的组合。
    “组合q，A，B，C(含q的组合)对应原来集合中的线段对，即AB，AC；AB，BC；BC，AC。组合A，B，C，D(不含q的组合)也对应另三对原线段对，即AB，CD；AC，BD；AD，BC。
    “因此，线段对的个数等于从n+1个点中取4个的方法数的3倍，即$3C_{n+1}^4$。