来自人教群的圆与抛物线相切

kuing

粤A教师MISSWong(4131****) 12:22:41
圆C的圆心C在x轴上,圆C经过抛物线D:y²=16x的焦点且与D相切,则C的半径是

这种题看起来不难，实际上要搞出答案来也不难，难是难在如何让论证过程严密，因为两个二次曲线的位置关系不能简单地用判别式来判断。

下面来写一种论证方法，希望没太多漏洞。

抛物线 $y^2=16x$ 的焦点为 $(4,0)$，故可设圆的方程为 $(x-m)^2+y^2=(4-m)^2$，其中 $m\ne4$。

显然切点一定在“左半圆”上，易见“左半圆”的方程为 $x=-\sqrt{(4-m)^2-y^2}+m$，那么，设
\[f(y)=-\sqrt{(4-m)^2-y^2}+m-\frac{y^2}{16},\]
则由相切知 $f(y)$ 存在零点且零点处的导数为零，即存在 $y_0$ 使 $f(y_0)=f'(y_0)=0$，即
\[-\sqrt{(4-m)^2-y_0^2}+m-\frac{y_0^2}{16}
=\frac{y_0}{\sqrt{(4-m)^2-y_0^2}}-\frac{y_0}8=0,\]
当 $y_0=0$ 时，易得 $m=2$；
当 $y_0\ne0$ 时，则
\[(4-m)^2-y_0^2=64,\]
代回去得
\[-8+m-\frac{(4-m)^2-64}{16}=0,\]
解得 $m=4$ 或 $m=20$，前者舍去，将后者代回去得 $y_0^2=192$，所以 $m=20$ 确实为上述方程的解。

综上所述，$m=2$ 或 $m=20$，因此半径为 $2$ 或 $16$。