一个组合题

转化与化归

设 $(1+x)^{10}=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_{10} x^{10}$, 则 $\sum_{k=1}^{10} \frac{a_k}{k}=$   

战巡

\[\sum_{k=1}^{10}\frac{a_k}{k}=\int_0^1\frac{(1+x)^{10}-a_0}{x}dx=...\]

f(x)

还可以组合数性质

tommywong

算不出来，倒是能变一下式

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{C_n^k}{k}=\sum_{k=1}^n \frac{2^k-1}{k}$

hjfmhh

回复 6# tommywong


    写出来学习一下

tommywong

回复 7# hjfmhh

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{C_n^k}{k}=\frac{1}{n}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}}{k}$

$\displaystyle =\frac{1}{n}+\sum_{k=1}^{n-1} \frac{C_{n-1}^k}{k}+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}C_n^k=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{C_{n-1}^k}{k}+\frac{2^n-1}{n}$

hjfmhh

回复 8# tommywong

这个感觉还是直接算方便

lemondian

回复 2# 战巡

请问：2#右边积分后的原函数是什么呀？不会呀！

kuing

回复 10# lemondian

`x+\frac12(1+x)^2+\frac13(1+x)^3+\cdots+\frac1{10}(1+x)^{10}+C`
所以就是 6# 的结果。

lemondian

回复 11# kuing
谢谢！
那这个1#的求值也只能一项项加了。。。