请教抛物线内接等腰直角三角形面积最小值

joatbmon

给定抛物线x^2=2py，求内接等腰直角三角形面积的最小值，看起来题意简明但是搞不定，特来求教，请大家帮忙或者提供学习资料

色k

因为任何抛物线都是相似的，故此这里只需考虑 $y=x^2$ 的情形即可。

设 $A(a,a^2)$, $B(b,b^2)$, $C(c,c^2)$，$\triangle ABC$ 面积为 $S$，
不妨设 $AB$ 绕 $A$ 逆时针旋转 $90\du$ 后与 $AC$ 重合，则易得
\[\led
b-a&=c^2-a^2,\\
c-a&=a^2-b^2,\\
2S&=(a-b)^2+(a^2-b^2)^2,
\endled\]
暴力消去 $b$, $c$ 可得关于 $a$, $S$ 的方程
\[(1+4a^2)^3+(3-24a^2-80a^4)S+32a^2S^2-4S^3=0,\]
虽然解不出好看的 $S$ 来，但其实不用解，因为它可以整理为
\[4a^2\bigl((1-4a^2)^2+4\bigr)=(S-1)\bigl((1-4a^2)^2+(8a^2-2S)^2+4S\bigr),\]
所以必有 $S\geqslant1$，当且仅当 $a=0$ 时 $S=1$，所以 $S$ 的最小值为 $1$。

对于 $x^2=2py$（$p>0$）时，$S$ 的最小值就是 $4p^2$。