一道抛物线题目

lemondian

战巡

回复 1# lemondian

这个简单，假设存在平行四边形$ABCD$，且四个点都在抛物线上，有
\[\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{y_3-y_4}{x_3-x_4}\]
\[\frac{x_1^2-x_2^2}{x_1-x_2}=\frac{x_3^2-x_4^2}{x_3-x_4}\]
\[x_1+x_2=x_3+x_4\]
同理
\[\frac{y_1-y_4}{x_1-x_4}=\frac{y_2-y_3}{x_2-x_3}\]
\[x_1+x_4=x_2+x_3\]
于是得到$x_2=x_4$，$B,D$重合

敬畏数学

回复 2# 战巡
对任意的抛物线，结论同样成立。

游客

抛物线的平行弦的中点连线，与抛物线对称轴平行或重合。
平行四边形对边中点连线是互相平分的。

敬畏数学

回复 4# 游客
。太快了。

lemondian

回复 2# 战巡
谢谢！

zhcosin

回复 3# 敬畏数学
抛物线的形状都是一样的，只是大小不同，所以证明了$y=x^2$的情况也就证明了所有的抛物线。

isee

回复 1# lemondian


    换个方向看即等价于：过平行四边形的四个顶点的二次曲线不是抛物线。

    这，可以用曲线系来说明。

lemondian

回复 8# isee
请写出来吧，让咱学习一下！

isee

回复 9# lemondian


    现行高中教材不学一般圆锥曲线$f(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$的化简，令$\Delta=B^2-4AC$，当$\Delta<0$，则$f(x,y)$为椭圆型；当$\Delta=0$，则$f(x,y)$为抛物线型；当$\Delta>0$，则$f(x,y)$为双曲线型。

   这是其一，其二，便是二次曲线系(这个高中也不学)。

   对此题而言

   设$Ax+By+C_1=0,Ax+By+C_2=0,A'x+B'y+C'_1=0,A'x+B'y+C'_2=0$分别为平行四边形的两组对边，则过其四个顶点的二次曲线系为$$(Ax+By+C_1)(Ax+By+C_2)+\lambda(A'x+B'y+C'_1)(A'x+B'y+C'_2)=0.$$

展开化简，整理，进一步可得$$\Delta=-4\lambda(AB'-A'B)^2\ne 0.$$

就指这意思了。

这用的知识点太多，完全是另一种思路。