以过焦点的弦为直径的圆与抛物线至少有三个交点

isee

题如附件图。

kuing

常规的代数方法没什么难度吧……

kuing

话说，计算临界位置还是可以用更好玩的方式来玩的。

引理：如图，抛物线上弦 $AB$ 过焦点 $F$，$M$ 为 $AB$ 中点，$MH$ 垂直于准线，垂足为 $H$，$N$ 为 $MH$ 的中点，则 $N$ 在抛物线上，且 $N$ 处的切线平行于 $AB$。



引理的证明：熟知 $FH\perp AB$，故 $FN=NH$，所以 $N$ 在抛物线上；由光学性质知 $N$ 处的切线平分 $\angle FNH$，故垂直于 $FH$，所以平行于 $AB$，引理得证。

回到原题，临界位置就是以 $AB$ 为直径的圆与抛物线相切时，设切点为 $C$，如下图。



用曲线系方法容易证明：标准方程圆锥曲线上的四点共圆等价于对边斜率互反（见《撸题集》P697 或 P839）。
而相切即为其中两点重合的退化情形，即上图中将会有 $C$ 处切线斜率与 $AB$ 的斜率互反，根据前面的引理，即 $C$, $N$ 两处的切线斜率互反，从而有 $CN$ 垂直平分 $MH$，由此得到 $\triangle CMH$ 为等边三角形，所以 $C$ 处切线斜率为 $-\sqrt3$，即 $AB$ 的斜率为 $\sqrt3$。

另外，因 $CA$ 与 $CB$ 的斜率互反，又 $CA\perp CB$，于是两者的斜率必为 $\pm1$，由此可知这个直角三角形的两锐角为 $15\du$ 和 $75\du$。另另外还可以知道 $AB$ 垂直平分 $CH$，垂足就是 $F$。

isee

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    临界值果然有看头，厉害厉害。临场只会四次方程韦达定理求重根。

kuing

还是补写一下常规代数解法吧……

设 $A(a,a^2)$, $B(b,b^2)$，另一公共点为 $C(c,c^2)$，由 $AB$ 过 $F$ 得
\[\frac {a^2-\frac 14}a=\frac {b^2-\frac 14}b\riff ab=-\frac 14,\]
由 $AC\perp BC$ 得
\[(a-c)(b-c)+(a^2-c^2)(b^2-c^2)=0\riff 1+(a+c)(b+c)=0,\]
故此关于 $c$ 的判别式有
\[\Delta =(a+b)^2-4(ab+1)=(a+b)^2-3\geqslant 0,\]
从而
\[\abs{k_{AB}}=\left| \frac {a^2-b^2}{a-b} \right|=\abs{a+b}\geqslant\sqrt3,\]
取等略。

isee

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    我太“愚蠢”了。。。。。。这个整理真强$(a-c)(b-c)+(a^2-c^2)(b^2-c^2)=0\riff 1+(a+c)(b+c)=0$，二次判别式学习了。。。。

敬畏数学

很普通的代数方法一样搞定。设直线方程联立，得到焦点弦为直径的圆的方程。再将圆方程与抛物线联立，得到一个关于x的四次方程，对于这个四次方程注意它一定可以分解这样的因式：直线与抛物线相交的关于x的一元二次式，再待定求出另外一个关于x的式子：$x^2+kx+\dfrac{3}{4}$，显然此式的判别式需要大于等于0，则得：答案C。

isee

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厉害厉害，更厉害的是还打一个公式！

kuing

回复 8# isee

isee

回复 3# kuing


    P839 拜读了，，，E点那行“不同为零”，我怎么觉得就是两个均不能为零呢？

kuing

回复 10# isee

其一为零是有可能的啊

敬畏数学

回复 8# isee
这个有错误吗？请指出。

isee

回复 11# kuing


    是我想错了。

isee

回复  isee
这个有错误吗？请指出。
敬畏数学 发表于 2017-12-17 16:35

没有。8楼是陈述句。难得楼主打个LaTeX代码。。。