一个有关抛物线的弦长问题

lemondian

求教一个抛物线的问题：
抛物线$y^2=2px(p>0)$过其焦点$F(\dfrac{p}{2},0)$且与x轴正方向所成的角为$\theta$ 的弦的弦长为$\dfrac{2p}{\sin^2\theta}$.
那么，过x轴一点$(m,0)$且与x轴正方向所成的角为$\theta$ 的弦的弦长是否与有相似的计算公式？（是否只是与$p,m,\theta$有关？）

走走看看

没有简易的公式，分倾斜角是否是90°，死算。
抛物线问题可参看：blog.sina.com.cn/s/blog_415a65620102xl1e.html 。

kuing

公式肯定是有的，就是没那么简洁罢了，也没必要记。

另外，你说的“（是否只是与p,m,θ有关？）”这不是废话吗？

kuing

没有简易的公式，分倾斜角是否是90°，死算。
走走看看 发表于 2018-2-3 12:17

无需分是否90°，计算也是简单的，还没到“死算”的程度。

设直线参数方程 $\led
x&=m+t\cos \theta, \\
y&=t\sin \theta
\endled$（$t$ 为参数），与抛物线联立得
\[t^2\sin ^2\theta =2p(m+t\cos \theta ),\]
所以弦长
\[L=\abs{t_1-t_2}=\sqrt {(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=\sqrt {\left( \frac {2p\cos \theta }{\sin ^2\theta } \right)^2+\frac {8pm}{\sin ^2\theta }}=\frac {2\sqrt {p^2+p(2m-p)\sin ^2\theta }}{\sin ^2\theta },\]
或者我们再设 $m=\lambda p$，则
\[L=\frac {2p}{\sin ^2\theta }\sqrt {1+(2\lambda-1)\sin ^2\theta }.\]

可以看到，当 $\lambda=1/2$ 时根号就没掉了，这时公式最简洁，另外 $\lambda=0$ 也算简洁，这些都是特殊情况。

lemondian

回复 4# kuing


    昨晚用了直线的普通方程，真是“死算”，还没算出一个象你这般较为简洁的式子，

lemondian

原来过焦点弦相关的$\triangle AOB$的面积公式$\dfrac{p^2}{2sin\theta }$也可相应改改了？

走走看看

回复 4# kuing

没想到用参数方程，博客里的那题也可以用参数方程来解。