四边形的重心坐标？

lemondian

$已知：A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),D(x_4,y_4),则四边形ABCD的重心坐标是什么？$
$我以为是（\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}，\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}）,$
$后来上网查了一下，把我搞糊了：多数文献利用积分搞出一个蛮复杂的式子，还有少部分就写成（\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}，\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}）？！$

kuing

大概是他们说的不是同一个概念，一个是几何重心，一个是物理重心。

lemondian

回复 2# kuing
哦，几何重心应该是我写的那个吧？
物理重心是不是应叫质心，印象中当年物理好象是这个叫法。

kuing

lemondian 发表于 2018-8-18 23:12
回复 2# kuing
哦，几何重心应该是我写的那个吧？
物理重心是不是应叫质心，印象中当年物理好象是这个叫法 ...

今天闲逛看到一帖 bbs.emath.ac.cn/thread-19348-1-1.html（挺有趣的一题）
里面将 `(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}4,\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}4)` 称为“四个顶点的质心”。
这个叫法挺好，因为毕竟只和顶点有关，我以前在上面说的“几何重心”也并不恰当。
又或者，叫“顶点重心”更好？

还有一个叫“面积重心”的，大概就是指质心——假设四边形是一块密度均匀的薄片，它的质心即面积重心。

三角形的面积重心和平时说的重心（顶点重心）是同一个点，但四边形就不是。
假设 `B`, `D` 在 `AC` 的两侧，`\triangle ABC` 的重心为 `G_1`，`\triangle ACD` 的重心为 `G_2`，那四边形 `ABCD` 的面积重心 `G` 应该是两者的加权重心，即 `\vv{PG}=\dfrac{\S{ABC}}{S_{ABCD}}\vv{PG_1}+\dfrac{\S{ACD}}{S_{ABCD}}\vv{PG_2}`，其中 `P` 为任意点。（如果是同侧，那应该改为有向面积吧）
因此 `G`, `G_1`, `G_2` 共线，同理 `G` 也与 `\triangle ABD` 的重心 `G_3`、`\triangle BCD` 的重心 `G_4` 共线，所以四边形面积重心就是由两对角线分成的两对三角形重心连线的交点？

如果这样理解没错的话，那链接中的题就可以这样证：

如图，显然四个顶点的质心 `O` 亦是两对角线 `AC`, `BD` 的中点 `M`, `N` 连线的中点。

由于 `G_3` 在 `NA` 的三等分点上，`G_4` 在 `NC` 的三等分点上，所以 `G_3G_4\px AC` 且 `XT=2TN`，同理 `G_1G_2\px BD` 且 `XS=2SM`，所以
\[\vv{XG}=\vv{XS}+\vv{XT}=\frac23\vv{XM}+\frac23\vv{XN}=\frac43\vv{XO},\]
即得结论。


相关：多边形的中心坐标

hbghlyj

kuing 发表于 2024-3-31 06:55
四边形面积重心就是由两对角线分成的两对三角形重心连线的交点？

能推广到四面体吗？

在Article141中，对角线交点为E，面积重心为G，顶点重心为N
另外还有F，它是BCE、DAE的重心连线与CDE、ABE的重心连线的交点。它也在直线EGN上。

kuing 发表于 2024-3-31 06:55
`(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}4,\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}4)` 称为“四个顶点的质心”。

两组对边的中点连线和两对角线中点连线共三线段共点且被该点平分
一点到其他三点的重心的连线总共四线段共点且四线段均被该点四等分

kuing

hbghlyj 发表于 2024-3-31 22:32
在Article141中，对角线交点为E，面积重心为G，顶点重心为N
另外还有F，它是BCE、DAE的重心连线与CDE、ABE的重心连线的交点。它也在直线EGN上。

这也易证，按 PDF 上的字母，显然 `G_{12}G_{23}G_{34}G_{41}` 是平行四边形，所以
\begin{align*}
\vv{PF}&=\frac{\vv{PG_{12}}+\vv{PG_{34}}}2\\
&=\frac{\vv{PA}+\vv{PB}+\vv{PE}+\vv{PC}+\vv{PD}+\vv{PE}}6\\
&=\frac23\vv{PN}+\frac13\vv{PE}.
\end{align*}

不过，那 PDF 上的四边形为啥还画了个外接圆，这是多余的吧？不用共圆也成立的啊

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-31 14:32
在Article141中

发现有很多很多类似的PDF在
people.bath.ac.uk/masgcs/bradley.html

hbghlyj

纯几何吧3565
$\odot O$ 为四边形 $A B C D$ 内切圆, $\triangle O A B$、$\triangle O B C $、$\triangle O C D$、$\triangle O D A$ 的重心分别为 $H_1$、$H_2$、$H_3$、$H_4$, 求证:

• $H_1$、$H_2$、$H_3$、$H_4$ 四点共线 $\ell$;
• 设四边形 $A B C D$ 重心为 $G$, 则 $\ell\perp GO$.