函数极值点偏移问题

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函数$ f(t)=\frac{e^{2t}+e^t}{2e^t+t} $满足$f(m)=f(n)$，$m,n$互不相等，证明：$m+n>0$

kuing

用最常规的套路就行了啊，证明 `f(t)<f(-t)`（其中 `t>0` 且满足 `f(-t)>0`）

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回复 2# kuing
也是这么想的，就是高手说的那个不等式目前没有证明出来。

kuing

回复 3# 敬畏数学
没什么难度呀，只是一些简单的计算。
首先为方便起见令 `t=\ln x`, `x>1`，则
\[f(-t)-f(t)=\frac{x+1}{x(2-x\ln x)}-\frac{x(x+1)}{2x+\ln x}=\frac{(x+1)\bigl(2x(1-x)+(x^3+1)\ln x\bigr)}{x(2-x\ln x)(2x+\ln x)},\]即证
\[\ln x>\frac{2x(x-1)}{x^3+1},\]利用已知结论得
\[\ln x>\frac{2(x-1)}{x+1}=\frac{2x(x-1)}{x^2+x}>\frac{2x(x-1)}{x^3+1}.\]即得证。

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回复 4# kuing
.Thanks.

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forum.php?mod=viewthread&tid=4503&extra=page=1类似套路题链接一下。

kuing

回复 6# 敬畏数学

这题是真偏移，那边那题是假偏移，套路完全不同，怎算类似？

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又看到一个类似:$ f(x)=\frac{e^x(x^2-2x-1)}{x}，x>0，$且$ f(m)+f(n)=-4e $，则：$ m+n\geqslant 2 $。同样套路，即证：$ f(m)+f(2-m)\leqslant-4e，0<m\leqslant 1 ， $即证：$ e^m(\frac{1}{m}+2-m)+e^{2-m}(\frac{1}{2-m}+m)\geqslant 4e $，那么用基本不等式即可证得此不等式显然成立。

isee

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2019年深一模，理科，且仅是主体部分。

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$ f(x)=lnx+x^2+x $，正数$ m,n $满足$ f(m)+f(n)+mn=0 $，则：$ m+n\geqslant \frac{\sqrt{5}-1}{2} $终于逮到一只真正的假偏移。$(m+n)^2+(m+n)=mn-ln(mn)≥1$即可。