三角求值

lemondian

三角求值：$\dfrac{1}{1-cos\dfrac{\pi}{9}}+\dfrac{1}{1-cos\dfrac{5\pi}{9}}+\dfrac{1}{1-cos\dfrac{7\pi}{9}}$

kuing

记 `x=\cos(\pi/9)`, `y=\cos(5\pi/9)`, `z=\cos(7\pi/9)`，
用和差化积易证 `x+y+z=0`，
用积化和差易证 `xy+yz+zx=-3/4`，
用（不知叫什么名称，就是乘个东西连续产生倍角最后又约掉的那个啥方法）易证 `xyz=1/8`，下略。

hejoseph

令 $x_k=\cos(2k\pi/9)+i\sin(2k\pi/9)$，其中 $k=1,2,3,4,5,6,7,8$，则 $x_k$ 是 $x^9-1=0$ 的根。
因为 $x^9-1=(x^3-1)(x^6+x^3+1)$，当 $k=0,3,6$ 时 $x_k$ 是 $x_k$ 是 $x^3-1=0$ 的根，所以 $k=1,2,4,5,7,8$ 时 $x_k$ 是 $x_k$ 是 $x^6+x^3+1=0$ 的根。
而 $1/x_k=\cos(2k\pi/9)-i\sin(2k\pi/9)$，且
\[
(x^6+x^3+1)/x^3=(x+1/x)^3-3(x+1/x)+1
\]
所以 $k=1,2,4,5,7,8$ 时 $2\cos(2k\pi/9)$ 是 $x^3-3x+1=0$ 的根，即 $\cos(2k\pi/9)$ 是 $8x^3-6x+1=0$ 的根，而 $\cos(\pi/9)=-\cos(8\pi/9)$，$\cos(5\pi/9)=-\cos(4\pi/9)$，$\cos(7\pi/9)=-\cos(2\pi/9)$，所以 $\cos(\pi/9)$、$\cos(5\pi/9)$、$\cos(7\pi/9)$ 是 $8x^3-6x-1=0$ 的根，这样就直接得到上一楼的结论了。

hejoseph

另外 lemondian 发的帖子函数名都不加反斜杠“\”的，看着就怪怪的。

爪机专用

回复 4# hejoseph

大把人都不知道要加，我也懒得提了，置顶帖明明说得很清楚。

isee

回复 5# 爪机专用

我是觉得，多半是知道要加\的，只是实际写时不加\，仅就顶楼的表达式而言，对初学者，稍有些难度的

isee

回复 3# hejoseph


好久不见这样的复数解题了

isee

$(x^6+x^3+1)/x^3=(x+1/x)^3-3(x+1/x)+1$
$2\cos(2k\pi/9)$
一定是千锤百炼而来的

lemondian

都是好方法，谢谢

Tesla35

回复 9# lemondian


    你算过最后结果是等于18嘛？

lemondian

回复 10# Tesla35
对呀，是18.

Tesla35

令$\theta=\frac{k\pi}{9},k=1,3,5,7,9$,则$9\theta=k\pi$
$5\theta=k\pi-4\theta$,故有$\cos5\theta=-\cos4\theta$.

$$16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta=-(8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1)$$
即
$$16\cos^5\theta+8\cos^4\theta-20\cos^3\theta-8\cos^2\theta+5\cos\theta+1=0$$

令$x=\cos\theta$,得
$$16x^5+8x^4-20x^3-8x^2+5x+1=0$$
当$k=3,9$时,$\cos\theta=\frac{1}{2},-1$,因此以上方程有因式$(2x-1)(x+1)$,约去得
$$8x^3-6x-1=0$$

其妙

这里有类似的三次方程的根的链接：

mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIxMDYxMDMxOQ==&mid=2247484548& ... 33&lang=zh_CN#rd