三角求值

lemondian

三角求值:
（1）$\dfrac{1}{sin^210^0}+\dfrac{1}{sin^250^0}+\dfrac{1}{sin^270^0}$;
(2)$\dfrac{1}{cos^210^0}+\dfrac{1}{cos^250^0}+\dfrac{1}{cos^270^0}$

kuing

sin cos 依旧……度不是 0 次方……

上次这帖 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=6253 的方法还没学会吗？

lemondian

回复 2# kuing
嗯，仿照你的做法：（1）36，（2）12.
不知对不对呢？

isee

回复 3# lemondian

软件校检没问题，是对的

不过主楼里写三角函数 sin20度的平方，却是错的，第一个错：单位是度，不是0，“度”的代码是 ^\circ ；第二个错：所有的数学名词，名称前必须加\ ,例如，正弦20度，是 \sin 20^\circ

lemondian

回复 4# isee
谢谢！
你真N，还会用软件弄

isee

回复 5# lemondian

现学现卖而已，mathematica

lemondian

回复 4# isee
学到了，下次注意

lemondian

问题（1）与问题（2）蛮对称的，在求出（1）后，不知能不能用对偶的方法来求（2）呢？
我想不来！

爪机专用

回复 8# lemondian

那我觉得你应该去学习何版的做法。

kuing

好吧，看来还是没人写三次方程的法子……

记 $x=\sin^210\du$, $y=\sin^250\du$, $z=\sin^270\du$，则由三倍角公式有
\[
\frac14=\sin^230\du=(3\sin10\du-4\sin^310\du)^2=x(3-4x)^2,
\]同理，将 `1/4` 写成 $\sin^2150\du$ 及 $\sin^2210\du$ 也可得同样的式子，所以 `x`, `y`, `z` 是方程 `4t(3-4t)^2-1=0` 的三根。

回到原题：

（1）记 $a_1=1/\sin^210\du=1/x$, $a_2=1/\sin^250\du=1/y$, $a_3=1/\sin^270\du=1/z$，那么 `a_1`, `a_2`, `a_3` 将是方程
\[\frac4t\left(3-\frac4t\right)^2-1=0\]亦即
\[4(3t-4)^2-t^3=0\]的三根，展开为 `-t^3+36t^2+\cdots=0`，故所求式为 `36`；

（2）记 $b_1=1/\cos^210\du=1/(1-x)$, $b_2=1/\cos^250\du=1/(1-y)$, $b_3=1/\cos^270\du=1/(1-z)$，那么 `b_1`, `b_2`, `b_3` 将是方程
\[4\left(1-\frac1t\right)\left(3-4\left(1-\frac1t\right)\right)^2-1=0\]亦即
\[4(t-1)(-t+4)^2-t^3=0\]的三根，展开为 `3t^3-36t^2+\cdots=0`，故所求式为 `12`。

kuing

回复 10# kuing

今天减压群里有人提起 tan 的，顺便也写来这里……

延用楼上的记号：

令 $c_1=\tan^210\du=x/(1-x)$, $c_2=\tan^250\du=y/(1-y)$, $c_3=\tan^270\du=z/(1-z)$，那么 `c_1`, `c_2`, `c_3` 将是方程
\[\frac{4t}{t+1}\left(3-\frac{4t}{t+1}\right)^2-1=0\]的三根，去分母整理为
\[t^3-9t^2+11t-\frac13=0,\quad(*)\]故 `c_1+c_2+c_3=9`, `c_1c_2+c_2c_3+c_3c_1=11`, `c_1c_2c_3=1/3`。

接下来求 $\tan^{2k}10\du+\tan^{2k}50\du+\tan^{2k}70\du$。

记 `S_k=c_1^k+c_2^k+c_3^k`，根据牛顿公式，当 `k\geqslant3` 时有
\[S_k-(c_1+c_2+c_3)S_{k-1}+(c_1c_2+c_2c_3+c_3c_1)S_{k-2}-c_1c_2c_3S_{k-3}=0,\]即
\[S_k-9S_{k-1}+11S_{k-2}-\frac13S_{k-3}=0,\]也就是说，上面的式 (*) 实际上就是数列 `\{S_k\}` 的特征方程。

显然 `S_0=3`, `S_1=c_1+c_2+c_3=9`, `S_2=S_1^2-2(c_1c_2+c_2c_3+c_3c_1)=81-22=59`，这样就可以往上计算 `S_3=9\cdot59-11\cdot9+1=433`, `S_4=9\cdot433-11\cdot59+3=3251`, `S_5=9\cdot3251-11\cdot433+59/3=73547/3`, \ldots

isee

直接通分，化简
blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102yuu2.html

hbghlyj

isee 发表于 2019-7-20 08:59
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