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血狼王

下面是一道组合题，背景有点冷门

求 $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-j} (-2)^k\frac{C_{n+k-1}^{k}C_{n-j}^{k}}{C_{2k}^{k}}$ 的值。

血狼王

背景是用伯恩斯坦（Bernstein）多项式基展开切比雪夫（Chebyshev）多项式……
怎么刚好是一对师徒？

血狼王

因为我用maple化简之后发现它是个超几何函数，好像也只能到这里了吧.
最后我说一下用Bernstein展开Chebyshev（由于某些原因，在法语和德语中这个名字被转写成T开头，所以是$T_n(x)$）的结果
$$T_n(x)=\displaystyle\sum_{j=0}^n \,_{2}F_{1}(n,-n+j;\frac{1}{2};\frac{1}{2})\cdot b_{j,n}(x)$$
其中
$T_n(x)$是第一型切比雪夫多项式，$b_{j,n}(x)$是$n$次伯恩斯坦多项式的第$j+1$个基多项式：
$$b_{j,n}(x)=C_{n}^{j} x^j(1-x)^{n-j}$$

$\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)$是超几何函数。

血狼王

同理，用类似方法可以证明勒让德多项式$P_n(x)$有以下展开：
$$P_n(x)=\displaystyle\sum_{j=0}^n \,_{2}F_{1}(n+1,-n+j;1;\frac{1}{2})\cdot b_{j,n}(x)$$

血狼王

这里存一下文字：
狼正浩P函数，是用Newton法生成分形时使用的一种特定函数。
其具有以下形式：
$$\displaystyle P(z)=z^{\gamma}\prod_{i=1}^n (z-\alpha_i)^{\beta_i}$$
其中$\alpha_i、\beta_i、\gamma$满足：
\begin{align*}
\sum_{i=1}^n \beta_i+\gamma=1 \\
\sum_{i=1}^n \alpha_i^j\beta_i=0\; (j=1..n-1) \\
\sum_{i=1}^n \alpha_i^n\beta_i=\delta
\end{align*}
且$\alpha_i（预先确定）、\beta_i、\gamma、\delta$均为高斯整数（Gaussian Integer）。

血狼王

将P(z)当作Newton法求解的函数，进行迭代，即可得到狼正浩P分形。
实际计算中使用以下格式：
$$\displaystyle \dot{z}=z(1-\frac{1}{\sum_{i=1}^n \frac{\beta_i}{1-\alpha_i z^{-1}}+\gamma})$$
在圆环域$|z|>0$内对$\dot{z}$做Laurant展开即得
$$\displaystyle \dot{z}=\delta z^{1-n}+o(z^{1-n})$$
所以狼正浩P分形映射具有将无穷远点映射到有限区域上的特征。

hbghlyj

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