2020年全国卷2理科第21题 没有导数味道的三角函数

isee

2020年全国卷2理科第21题

已知函数$f(x)=\sin^2 x\sin2x$．
（1）讨论$f(x)$在区间$(0,\pi)$的单调性；
（2）证明：$\left| f(x) \right|\le \frac{3\sqrt 3}{8}$ ；
（3）设$n\in N^*$，证明：$\sin^2 x\sin^22x\sin^24x\cdots \sin^22^nx\le \frac{3^n}{4^n}$．



提示：

(1)无论化不化原函数的形式，最后求导的结合都一样——好像是废话。
(2)奇函数，直接平方，四元均值不等式即可

(3)想数归，没成功~

用不用导数都无所谓了

色k

瞬间就想起这题：forum.php?mod=viewthread&tid=4234
不知道能不能用上

facebooker

回复 1# isee

1973 PTN竞赛试题 这题近些年广泛传播到了 连我都知道出处了。。。

kuing

原来就是强行弄到 2# 链接里的东西上面就行了……
那边中间那块都是 3 次方，所以将这里的式子 ^(3/2)，头尾的放掉就好了……

记
\[T=\sin ^2x\sin ^22x\sin ^24x\cdots \sin ^22^nx,\]有
\[
T^{3/2}=\abs{\sin x}\cdot\abs{f(x)f(2x)\cdots f(2^{n-1}x)}\cdot\sin^22^nx<\left( \frac{3\sqrt3}8 \right)^n,
\]所以
\[T<\left( \frac{3\sqrt3}8 \right)^{2n/3}=\left( \frac34 \right)^n.\]