过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，求差的最小值

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题：已知抛物线$y^2=16x$的焦点为$F$，过点$F$的直线$l$交抛物线于$M$，$N$两点，则$\frac {\abs{NF}}9-\frac 4{\abs{MF}}$的最小值为(    )

D. $\frac 13$


很久不见这样的题了，如果用圆锥曲线过焦点的统一性质$$\frac 1{\abs{NF}}+\frac 1{\abs{MF}}=\frac 2{ep},\tag{01}\label{eq01}$$

此题中将$e=1$，$p=8$代入，整理即得$$\frac 4{\abs{MF}}=1-\frac 4{\abs{NF}},$$

于是$$\frac {\abs{NF}}9-\frac 4{\abs{MF}}=\frac {\abs{NF}}9-1+\frac 4{\abs{NF}}\geqslant \frac 43-1=\frac 13.$$

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不过，一般圆锥曲线中这个统一的性质，并不太容易证明。

如果仅从“选题”者的角度，或者说绕过\eqref{eq01}，可能 是这样子的：

记$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2),$设$l$的方程为$x=my+4$，与抛物线线联立，有$$x^2-(16m^2+8)x+16=0\Rightarrow x_1x_2=16,$$

从而$$\frac {\abs{NF}}9-\frac 4{\abs{MF}}=\frac {x_2+4}9-\frac 4{x_1+4}=\frac {x_2+4}9-\frac {4x_2}{16+4x_2}=\frac {x_2+4}9+\frac {4}{x_2+4}-1\geqslant \frac 43-1=\frac 13. \tag{02}\label{eq02}$$

也就是说\eqref{eq01}关系步骤要用到$x_1x_2=16$.

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不过，这个变形的技巧虽然是常规的，但是还是有点门槛，倘若将\eqref{eq02}化一元，有$$\frac {\abs{NF}}9-\frac 4{\abs{MF}}=\frac {x_2+4}9-\frac 4{x_1+4}=\frac {4(x_1+x_2)-4}{9(x_1+4)}=\frac {4\left(x_1+\frac {16}{x_1}\right)-4}{9(x_1+4)}=\frac 49\cdot \frac {x_1^2-x_1+16}{x_1^2+4x}=\frac 49\cdot \left(1+\frac {25}{t+\frac {676}{t}-52}\right),t=16-5x_1,$$

由于是求上式的最小值，从而只需要考虑$16-5x_1t<0$的情况，以及$t=0$的情况。

从而（注意到“1”后的分式小于零的)
$$\frac {\abs{NF}}9-\frac 4{\abs{MF}}\geqslant\frac 49\cdot \left(1+\frac {25}{-100}\right)=\frac 13.$$

当然，直接求导其实更佳，个人以为，这个分式的处理也是基本功，但太绕了~